2.1 等式和不等式的性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 1.两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a＞b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b＜0⇔a＜b. 2.等式与不等式的性质 等式的性质 不等式的性质 a＝b⇔b＝a 性质1：a>b⇔b<a a＝b，b＝c⇒a＝c 性质2：a>b，b>c⇒a>c a＝b⇔a＋c＝b＋c 性质3：a>b⇔a＋c>b＋c a＝b⇒ac＝bc 性质4：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc a＝b，c＝d⇒a＋c＝b＋d 性质5：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d a＝b，c＝d⇒ac＝bd 性质6：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd a＝b≥0⇒an＝bn 性质7：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 例题解析 考点一：用不等式表示不等关系 例1一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%.那么信贷部应该如何分配资金呢?用不等关系表示. 【答案】 【解析】 解:设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资金为y元, 由资金总数为25000000元,得到. 由于预计企业贷款创收12%,个人贷款创收10%,共创收30000元以上, 所以,即, 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值,所以,. 综合得到分配资金应该满足的条件: 练习1日常生活中，在一杯含有克糖的克糖水中，再加入克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明. 【答案】，，，证明见解析 【解析】 由题知：原来糖水的浓度为， 加入克糖后的浓度为，，. 因为这杯糖水变甜了，所以， 整理得：，，. 因为， 又因为，，所以，，， 所以，即证. 【名师点睛】 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： ①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等． ②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 考点二：比较数或式子的大小 例2已知，试比较与的大小. 【答案】 【解析】 ∵， ∴. ∴ ∴ 练习1已知，，试比较与的大小． 【答案】当时，；当时，. 【解析】 . 因为，，所以，，得 当时，；当时，. 练习2（1）比较与的大小，其中； （2）设，，，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1） ， ，当且仅当时取等号. （2） ， ，当且仅当且时取等号. 故得解. 【名师点睛】 比较两个实数(或代数式)大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提． 考点三：不等式性质的应用 例3若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 对，，因为大小无法确定，故不一定成立； 对，当时，才能成立，故也不一定成立； 对，当时不成立，故也不一定成立； 对，，故一定成立. 故选D. 练习1若，则下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为， 所以， 所以，即，故A正确， 所以，即 ，故B正确 ， 所以，即，故C正确， 当时，，故D错误. 故选：D 练习2已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＞b，则 C．若a＞b＞0，则（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c 【答案】D 【解析】 当时，A不成立；当时，B不成立；当时，C不成立；由不等式的性质知D成立． 故选D． 【名师点睛】 不等式性质的应用主要有：判断不等式的真假，证明不等式，求参数的取值范围等． 1．判断不等式的真假． (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 2．证明不等式 (1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围 (1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利