1.5 全称量词与存在量-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 1．全称量词与全称命题 (1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题． (2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)． (3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义． 3．存在量词与特称命题 (1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题． (2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)． (3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义． 4．命题的否定 (1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题． (2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题． 5．常见的命题的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有 一个 至多有 一个 对任意x∈A 使p(x)真 否定 形式 不是 不都是 ≤ 一个也 没有 至少有 两个 存在x∈A 使p(x)假 【提醒】因为命题与的真假性相反，所以不管是全称命题还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假。 例题解析 考点一：全称命题与特称命题的判定 例1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解． (2)存在实数x，使得 . 【答案】（1）假命题； （2）假命题. 【解析】 (1)该命题是全称命题． 当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题． (2)该命题是特称命题． ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴. 故该命题是假命题． 练习1把下列定理表示的命题写成含有量词的命题: (1)勾股定理; (2)三角形内角和定理. 【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和; (2)所有三角形的内角和都是180°. 【解析】 (1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和； (2)所有三角形的内角和都是180°. 练习2用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0； (2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称； (3)存在整数x，y，使得； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1).真命题； (2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题； (3)假命题； (4)，真命题. 【解析】 (1)，是真命题； (2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，； (3)假命题,因为必为偶数； (4).真命题,例如. 【名师点睛】 1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤： (1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题． 2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会． 考点二：全称命题与特称命题的真假判断 例2写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）任意实数都存在倒数； （2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等； （3）是三角形的内角和是. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 （1）存在一个实数不存在倒数，例如:实数,故此命题为真命题； （2）所有平行四边形的对角线相等，例如：边长为1,一个内角为的菱形,其对角线分别为,故此命题为假命题； （3）是三角形的内角和不是，由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为,故此命题为假命题. 练习1判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题 【解析】 （1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直； （2）假命题，因为若为整数，则必为偶数； （3）真命题，因为是无理数，是无理数. 练习2判断下列全称量词命题的真假： （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根； （3）是无理数}，是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题 【解析】 （1）真命题. 连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形， 而一个三角形的内角和180°， 所以