第2讲 集合之间的关系（提高）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

新高一同步 数学 “集合之间的关系（提高）” 知识定位 必须掌握的基础 知识梳理 1. 子集与真子集 2. 容斥原理 二元容斥原理： 三元容斥原理： 可以结合文氏（venn）图观察出以上结论的正确性（二元省略） ①+③+⑦+2*（②+④+⑥）+3*⑤； ②+⑤； =④+⑤； =⑤+⑥； =⑤. 所以，等式右侧=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦=左侧 结论正确。 例题精讲 【题目1】集合的真子集的个数为（ ） A、5 B、6 C、7 D、8 【答案】C 【解析】集合共有3个元素，故其子集个数为个，则真子集个数为个. 【知识点】子集与真子集 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目2】设，.若是的真子集，则的取值为________. 【答案】2或-1 【解析】讨论：1），解得或； 2），解得（舍） 综上，或 【知识点】子集与真子集 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目3】已知集合，，则（ ） A、是的真子集 B、是的真子集 C、= D、、关系不确定 【答案】A 【解析】对于集合，当取偶数时，便能取得集合中的所有元素，故是的真子集 【知识点】子集与真子集 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目4】学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，两样都会的有8人，这个文艺组共有几人？ 【答案】33人 【解析】二元容斥原理：24+17-8=33 【知识点】容斥原理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 习题演练 【题目1】满足的集合有_______个. 【答案】8 【解析】 【知识点】子集与真子集 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】1 【题目2】对于一个有个元素的有限集，它的子集、真子集、非空真子集的个数分别是？ 【答案】；； 【解析】每个元素都只有“在”或“不在”子集中两种情况，故 【知识点】子集与真子集 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目3】集合中有10个元素，若在其中增加1个元素，则它的子集个数增加了______个 【答案】1024 【解析】 【知识点】子集与真子集 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目4】设集合，，若，求的取值范围. 【答案】 【解析】 解得： 【知识点】子集与真子集 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目5】设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 ，求集合. 【答案】 【解析】注意到在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以有： . 故，于是四个元素分别为： 【知识点】子集与真子集 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4 【题目6】已知，，求证：. 【解析】（1）先证， ，即. （2）再证， ，即 综合（1），（2）得证. *证明两个集合分两步走，先证，再证 【知识点】子集与真子集 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目7】某大学有外语教师120名，教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40 名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教 法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教这三门课的外语教师有多少名？ 【答案】14名 【解析】三元容斥原理：教英日法的老师共有：50+45+40-15-10-8+4=106名 故 有120-106=14名不教这三门. 【知识点】容斥原理 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目8】设,集合，则______ 【答案】2 【解析】显然 故 【知识点】子集与真子集 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】1 【题目9】一个4元实数集合的所有子集的元素的总和等于2008（假设空集的元素和为0），求的所有元素的和. 【答案】251 【解析】设，则 【知识点】子集与真子集 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【题目10】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人， 两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？ 【答案】3个 【解析】答对题的学生共有：25+23-15=33人，故没有答对题的有 36-33=3人 【知识点】容斥原理 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【题目11】不超过50的正整数中，是2的倍数或3的倍数的数共有多少个？ 【答案】33个 【解析】2的倍数有：25个；3的倍