2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解 一、本节知识点 （1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展: （4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型 （1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系. （4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解. 知识点 一元二次不等式的概念 我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如 （≥0）或 （≤0）（其中 ）的不等式叫做一元二次不等式. 元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集. 注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系 一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系. 一元二次方程 与二次函数 的关系是: （1）当 ≥0时,一元二次方程 有实数根,二次函数 的图象与 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解; ①当 时,一元二次方程 有两个不相等的实数根,二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点; ②当 时,一元二次方程 有两个相等的实数根,二次函数 的图象与 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）. （2）当 时,一元二次方程 无实数根,二次函数 的图象与 轴没有交点. 具体关系见下页表（1）所示. 一元二次不等式与二次函数 的关系是: （1）一元二次不等式 （≥0）的解集就是二次函数 的图象位于 轴上方（包括 轴）的部分所对应的自变量的取值范围; （2）一元二次不等式 （≤0）的解集就是二次函数 的图象位于 轴下方（包括 轴）的部分所对应的自变量的取值范围. 由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是: （1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算 的值,并判断 的符号; （3）当 ≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图; （5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集. 注意 一元二次