4.2 指数函数-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

4.2 指数函数 考点讲解 考点1：指数函数的概念 【例1】（1）下列函数中，是指数函数的个数是(　　) ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax； ④y＝2·3x. A．1　　　　 B．2 C．3 D．0 （2）已知函数f(x)为指数函数，且，则f(－2)＝________. 【答案】(1)D　(2)　 【解析】(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x，而是x的函数， 所以不是指数函数； ③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数； ④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. (2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由得a－＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝. 【方法技巧】 1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： （1）底数是大于0且不等于1的常数； （2）指数函数的自变量必须位于指数的位置上； （3）ax的系数必须为1. 2．求指数函数的解析式常用待定系数法． 【针对训练】 1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________． ∪(1，＋∞)　【解析】由题意可知解得a>，且a≠1， 所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)． 考点2：指数函数的图象的应用 【例2】（1）函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 （2）函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________． (1)D　(2)(3,4)　【解析】(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1， 又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D. (2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)． 【方法技巧】 指数函数图象问题的处理技巧 （1）抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点. （2）利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移. （3）利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势. 【针对训练】 2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到： （1）y＝2x＋1；（2）y＝2x－1；（3）y＝2x＋1； （4）y＝2－x；（5）y＝2|x|. 【解答】　(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到． (2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到． (3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到． (4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象． (5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象． 考点3：指数函数的定义域、值域问题 【探究问题】 1．函数y＝2x2＋1的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？ 提示：定义域相同． 2．如何求y＝2x2＋1的值域？ 提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝2x2＋1的值域为[2，＋∞)． 【例3】　求下列函数的定义域和值域： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝4x＋2x＋1＋2. [思路点拨]　―→ 【解答】　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]． 因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1， 所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)． (2)定义域为R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴≤＝16. 又∵>0， ∴函数y＝的值域为(0,16]． (3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 【变式训练】 1．若本例(1)的函数换为“y＝”，求其定义域． 【解析】　由－1≥0得≥，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]． 2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域． 【解析】　∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1. 令2x＝t，则t∈[1,4]，且f(t)＝