3.2.1 双曲线及其标准方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

双曲线的方程 【要点梳理】 要点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （ 大于0且 ）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点 、 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 要点诠释： 1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件： （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支； 2. 若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3. 若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在； 4. 若常数 ，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 要点二、双曲线的标准方程 双曲线的标准方程： 1.当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： EMBED Equation.DSMT4 ，其中 ； 2.当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： EMBED Equation.DSMT4 ，其中 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为 ，即 ， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线。 当 时，双曲线的焦点在x轴上； 当 时，双曲线的焦点在y轴上。 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 要点三、求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 、 、 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 【典型例题】 类型一：双曲线的定义 例1.若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【解析】∵｜AA′｜＝2， ∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线． (2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0． (3)当0＜a＜2时，轨迹方程是 ＝1，轨迹是双曲线． 举一反三： 【变式1】已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为(　　) A. B. (y>0) C. 或 D. (x>0) 【答案】　D 【变式2】双曲线方程： ，那么k的取值范围是（ ） A.(5，+∞) B.（2,5） C.（-2,2） D．（-2,2）∪(5，+∞) 【答案】D 【解析】由题意知 解得 或k>5,故选D。 【变式3】已知点F1(0,－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ） A．y=0 B．y=0（x≤－13或x≥13） C．x=0（|y|≥13） D．以上都不对 【答案】C 例2. 已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是 ，求它的另一个焦点 的轨迹方程. 【解析】易知 ，由双曲线定义知 即 ① 即 此时点 的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0) ② 即 此时点 的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆， 其方程为 （y≠0） 举一反三： 【变式1】已知点P(x,y)的坐标满足 ， 则动点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线中的一支 C．两条射线 D．以上都不对 【答案】B 【变式2】动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】　A 类型二：双曲线的标准方程 例3．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。 【解析】由题意得2a=24，2c=26。 ∴a=12，c=13，b2=132－122=25。 当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为 ； 当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为 。 举一反三： 【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）已知两焦点 ,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8. （2）双曲线的一个焦点坐标为 ，经过点 . 【答案】（1） （2） 【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比