3.1.3 椭圆的综合-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

椭圆综合 类型一：椭圆的方程与性质 例1.若方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题知 所以 ，选D 例2. 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围． 【解析】由 得 ，且 ． ∴满足条件的 的取值范围是 ，且 ． 例3. 已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的一个焦点为( ，0)，离心率为 ． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程． 【解析】(1)依题意知 ，求得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为 ＝1． (2)当过点P的直线斜率不存在时，P的坐标为(±3，±2)时符合题意， 设过点P(x0，y0)的切线为y＝k(x－x0)＋y0， ＝1， 整理得(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0， △＝[18k(y0－kx0)]2－4(9k2＋4)×9[(y0－kx0)2－4]， ∴(x02－9)k2－2x0×y0×k＋(y02－4)＝0， ∴－1＝k1•k2， ＝－1，∴x02＋y02＝13．把点(±3，±2)代入亦成立， ∴点P的轨迹方程为：x2＋y2＝13． 类型二：直线与椭圆的位置关系 例4.已知椭圆 及直线 ． （1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程． 【解析】（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，即 ． ， 解得 ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， ． 根据弦长公式得： ． 解得 ． 因此，所求直线的方程为 ． 举一反三： 【变式1】椭圆C： 的左焦点为F，若F关于直线 的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 关于直线 的对称点A（m,n）,则 ， 代入椭圆方程可得 ，化简可得 ， 【变式2】已知：直线 y＝1-x与椭圆 mx2+ny2＝1交于M、N两点，O为坐标原点， （1）若点P为线段MN的中点，OP的斜率为 ，求： 的值； （2）若OM⊥ON，且 ，求：椭圆的方程． 【答案】设令M(x1,y1)， N(x2,y2)， 把y=1-x代入mx2+ny2=1中消y有：(m+n)x2-2nx+n-1=0， 由已知：Δ>0， ， ， （1） , ∴ , ∴ ． （2）∵OM⊥ON， ∴x1x2+y1y2=0 又y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2= ∴ 即m+n=2, 又∵ ， ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 或 ， ∴所求为 或 ． 【变式3】已知长轴为12，短轴长为6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ， 两点，求弦 的长． 【答案】利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． EMBED Equation.3 ． 因为 ， ，所以 ． 又因为焦点在 轴上，所以椭圆方程为 ，左焦点 ， 从而直线方程为： ． 由直线方程与椭圆方程联立得： ． 设 ， 为方程两根，所以 ， ， ， 从而 ． 类型三：椭圆中的最值问题 例5如图，P是椭圆 上的动点，F1、F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且 ，则|OM|的取值范围是________． 【答案】∵ ，∴ 延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形， 且M为F2M的中点，可得OM是△PF1F2的中位线 ∵a－c＜|PF2|＜a+c，∴ ∴|OM|的取值范围是（0，3） 举一反三： 【变式1】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 ，已知点 到这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点到 的距离等于 的点的坐标． 【解析】设所求椭圆的直角坐标方程是 ，其中 待定． 由 可得 ，即 ． 设椭圆上的点 到点 的距离是 ，则 其中 ． 如果 ，则当 时， （从而 ）有最大值． 由题设得 ，由此得 ，与 矛盾． 因此必有 成立，于是当 时， （从而 ）有最大值． 由题设得 ，可得 ， ． ∴所求椭圆方程是 ． 由 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 ，点 到点 的距离是 ． 【巩固练习】 1、 选择题 1．一个椭圆的半焦距为2，离心率 ，那么它的短轴长是（ ） A．3 B． C． D．6 1．答案：C解析： ∵c=2， ，∴a=3，∴b2=a2―c2=9―4=5，∴ ，∴短轴长为 2.椭圆 与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点