3.1.1 椭圆及其标准方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

椭圆的方程 要点一、椭圆的定义 1.椭圆的定义：平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数 ， 这个动点 的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 若 ， 的轨迹为线段 ；若 ， 的轨迹无图形 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 的动点M的轨迹叫椭圆 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 椭圆 是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆 （a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 要点二、椭圆的标准方程 椭圆的标准方程： 1.当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： EMBED Equation.3 ，其中 ； 2.当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： EMBED Equation.3 ，其中 ； 要点诠释： 1.椭圆上一点到焦点的最小距离为：a-c，最大距离为：a+c； 2.椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ； 3. 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 要点三、求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式： . （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 【典型例题】 类型一：椭圆的定义 例1. 若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m>0），试求P点的轨迹方程。 【解析】∵|PA|+|PA＇|=m，|AA＇|=2，|PA|+|PA＇|≥|AA＇|， （1）当0<m<2时，P点的轨迹不存在； （2）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA＇ ∴其方程为y=0（－1≤x≤1）； （3）当m＞2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A＇为焦点的椭圆 ∵2c=2，2a=m， ∴ ， ， ∴点P的轨迹方程为 。 举一反三： 【变式1】设椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B。若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【变式2】已知B（-2,0），C（2,0），A为动点， 的周长为10，则动点A的满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】 |AB|+|AC|+|BC|=10，B（-2,0），C（2,0）， |AB|+|AC|=6>|BC| 点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去与B、C共线二顶点），且2a=6,c=2, b2=a2-c2=5, 顶点A的轨迹方程为 【变式3】设动圆 与圆 外切，与 内切，求动圆圆心 的轨迹方程. 【答案】 类型二：椭圆的标准方程 例2. 椭圆 的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则 的周长是 . 【解析】由椭圆方程知 ∴ ，∴ ，∴两焦点为 又因为三角形的周长为: = 举一反三： 【变式1】方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________ 【答案】 <m<25 【解析】因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即m> ，又因为b2＝25－m>0，故m<25. 【变式2】已知椭圆的标准方程是 (a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________． 【答案】 【解析】因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即 ，所以△ABF2的周长为4a＝ . 【变式3】已知曲线C的方程为 ，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 例3