选择性必修第一册模块检测A-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 选择性必修第一册 模块检测A 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。 一、单选题 1．如图所示，在正方体 中， 是底面正方形 的中心， 是 的中点， 是 的中点，则直线 ， 的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，写出 与 的坐标，即可判断位置关系. 【详解】 建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2， 则 ， ， ， ， ∴ ， . ∵ ， ∴直线 ， 的位置关系是异面垂直. 故选: C 【点睛】 本题主要考查了利用空间向量证明直线与直线之间的位置关系，属于基础题. 2．已知倾斜角为 的直线 与直线 垂直，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 倾斜角为 的直线 与直线 垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【详解】 解：因为直线 与直线 垂直，所以 ， . 又 为直线倾斜角，解得 . 故选：D. 【点睛】 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 3．如图在平行六面体 中，底面 是边长为1的正方形，侧棱 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 ， ， ， ， ， ，再计算 即可. 【详解】 解：因为底面 是边长为1的正方形，侧棱 且 ， 则 ， ， ， ， ， ， 则 故选：B. 【点睛】 本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题. 4．点 是正方体 的侧面 内的一个动点，若 与 的面积之比等于2，则点 的轨迹是（ ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据条件 与 的面积之比等于2，可得 ，然后建立平面直角坐标系求出点 的轨迹方程，即可判断. 【详解】 如图正方体 中， 可知 平面 ， 平面 ， 则 ， ，即 , 以 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系， 设正方体棱长为 ，设 ，则 ， ， 整理得 ， 点 的轨迹是圆的一部分， 故选：A. 【点睛】 本题考查动点轨迹的判断，解题的关键是找出与动点相关的等量关系，利用轨迹方程或曲线的定义判断. 5．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点 ， 在 轴上，中心在原点，点 的坐标为 ， 为双曲线右支上一动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先画出图像，再结合双曲线第一定义 ，三角形三边关系 ，当点 为 与双曲线的交点时， 取到最小值 【详解】 如图，由双曲线第一定义得 ①， 又由三角形三边关系可得 ②（当点 为 与双曲线的交点时取到等号），①+②得： ，故 ， 由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得， ，则 ， ， ， 则 故选：D 【点睛】 本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题 6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 是一对相关曲线的焦点， 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设 ， 在椭圆 中 ， ，即 在双曲线 中 ， 即 ，则 所以 ，由题知 ，则椭圆离心率 ，选A. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 7．已知直线 ，其中 ，则“ ”是“ ”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 直线 的充要条件是 或 ．故选A． 8．若直线 ： 被圆 截得的弦长为4，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线 上，推出 ，利用基本不等式转化求解 取最小值． 【详解】 解：圆 ，即 ， 表示以 为圆心，以2为半径的圆， 由题意可得圆心在直线 上， 故 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 故选：B． 【点睛】 本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题