第三章 圆锥曲线的方程章末检测B-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 第三章 圆锥曲线的方程 章末检测B 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。 一、单选题 1．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 的周长为 ，则椭圆 的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用焦点三角形的周长求出 ，再根据离心率求出 ，由 即可求解. 【详解】 的周长为 ， 则 , 所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ， 所以椭圆 的标准方程为： . 故选：A 【点睛】 本题考查了焦点三角形周长、利用离心率求椭圆的标准方程，属于基础题. 2．如图所示，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，若 且 的面积为 ，则 的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，设 ，由题中条件求出 ，再由双曲线的渐近线方程得到 ，从而可求出离心率. 【详解】 由题意，设 ，因为 且 的面积为 ， 所以 ， ， 所以 ，即 ，可得 ， 又双曲线 的渐近线方程为 ， ∴ ， 所以 . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查求双曲线的离心率，属于基础题型. 3．已知抛物线 上一点P到准线的距离为 ，到直线 : 为 ，则 的最小值为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义，将 的最小值转化为焦点到直线 的距离即可求得． 【详解】 解：抛物线上的点 到准线的距离等于到焦点 的距离， 所以过焦点 作直线 的垂线， 则该点到直线的距离为 最小值，如图所示； 由 ，直线 ，所以 ，故选A. 【点睛】 本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题，是基础题． 4．离心率为2的双曲线 的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线的离心率 ，可求出 ，又双曲线的渐近线方程为 ，可求出答案. 【详解】 由题意，双曲线 的离心率为 ，则 ，即 ， 所以双曲线 的渐近线方程为 ，即 . 故选：C. 【点睛】 本题考查双曲线的渐近线、离心率，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5．已知双曲线C： （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，实轴长为6，渐近线方程为 ，动点 在双曲线左支上，点 为圆 上一点，则 的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据题意得双曲线的方程为 ，再结合双曲线的定义得 ，故 ，连接 ，交双曲线于 ，交圆于 ，此时 取得最小值，再计算即可得答案. 【详解】 由题意可得 ，即 ， 渐近线方程为 ，即有 ，即 ，可得双曲线方程为 ， 焦点为 ， ，由双曲线的定义可得 ， 由圆 可得 ，半径 ， ， 连接 ，交双曲线于 ，交圆于 ， 此时 取得最小值，且为 ， 则 的最小值为 . 故选：B. 【点睛】 本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题. 6．若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的（ ） A．离心率相等 B．虚半轴长相等 C．实半轴长相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 ，则 ， ， 双曲线 的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ， 双曲线 的实半轴长为 ，虚半轴长为 ， 焦距为 ，离心率为 ， 因此，两双曲线的焦距相等， 故选D. 7．已知点P（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A、B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点 A．（ ，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（-2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP、BP的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果. 【详解】 根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x轴上， 设直线的方程为 ，与抛物线方程联立，消元得 ， 设 ，因为x轴是∠APB的角平分线， 所以AP、BP的斜率互为相反数，所以 ， 结合根与系数之间的关系，整理得出 ， 即 ， ，解得 ，所以过定点 ， 故选B. 【点睛】 该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键. 8．已知圆 ，圆 ，椭圆 ，若圆 ， 都在椭圆内，则