第三章 圆锥曲线的方程章末检测A-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 第三章 圆锥曲线的方程 章末检测A 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。 一、单选题 1．抛物线 的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由解析式可求出焦点的位置，以及 ，继而可求出焦点坐标. 【详解】 解：由题意知， ，解得 ，焦点在 轴正半轴，所以焦点坐标为 ， 故选:D. 【点睛】 本题考查了已知抛物线的方程求焦点坐标，属于基础题. 2．若双曲线 的渐近线和圆 相切，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线和圆线相切，可得圆心到渐近线的距离 ，再结合双曲线的性质，代入即可得解. 【详解】 易知双曲线 的一条渐近线为 ， 圆 的圆心为 ，半径 ， 由题意得：圆心到渐近线的距离 ， 又因为 ，代入可得： ， 所以 ， 故选：D. 【点睛】 本题考查了求双曲线的离心率，考查了直线和圆的位置关系以及双曲线的性质，考查了计算能力，这类题型的解题思路是根据条件直接得到 之间的关系即可求得离心率，本题属于中档题. 3．已知双曲线 （ ）与双曲线 （ ）有相同的渐近线 ，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线方程求渐近线方程，结合条件列方程，即得结果 ，即可选择. 【详解】 的渐近线方程为 ， 的渐近线方程为 ， 由题意可知 ， ，所以 ， 故选：A. 【点睛】 本题考查根据双曲线方程求渐近线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，点P为渐近线上一点，O为坐标原点，若 为等边三角形，则C的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 画出双曲线的图像，利用等边三角形的性质可知渐近线的斜率为 ，即 ，从而可求离心率. 【详解】 双曲线 的图像如下图， 由 为等边三角形可知，渐近线OP的倾斜角为 ，则渐近线的斜率为 ， 即 ，则 . 故选：A. 【点睛】 本题考查双曲线求离心率的方法，注意充分利用几何性质可简化计算，属基础题. 5．已知点P为抛物线C： 上的一个动点，PM垂直C的准线，垂足为M，A点坐标为（7，8），则 的最小值是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线定义得 ,再根据三角形不等式关系确定最小值. 【详解】 设抛物线C： 焦点为 ，则 所以 故选：D 【点睛】 本题考查利用抛物线定义求最值，考查数形结合思想方法，属基础题. 6．已知椭圆 与双曲线 有相同的左右焦点，分别为 、 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，且两曲线在第二象限的公共点为点P，且满足 ，则 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，由双曲线与椭圆的定义，结合离心率的概念，分别求出 ， ，即可得出结果. 【详解】 因为 ，不妨令 ， ， ， 因为点P是椭圆与双曲线位于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，两曲线的焦距为 ， 根据椭圆与双曲线的定义可得： ， ， 因此 ， ， 所以 . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查求椭圆与双曲线的离心率，属于基础题型. 7．设 ， 为双曲线C： （a， ）的左、右焦点，双曲线C与圆 的一个交点为P，若 的最大值为 ，则双曲线的离心率e为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设 ，则由双曲线的焦半径公式可得 ，即可得出最大值，求出 . 【详解】 设 ，则由双曲线的焦半径公式， 有 ， 当 时， 取得最大值 ，即 . 故选：C. 【点睛】 本题考查双曲线的性质，考查焦半径公式的应用，属于中档题. 8．抛物线 焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点， ，A为垂足，如果直线 的倾斜角等于 ，那么 等于( ) A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线几何性质及三角函数关系，结合等腰三角形性质即可求得 . 【详解】 根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示： 抛物线 焦点为F，则 ，准线方程为 ， 直线 的倾斜角等于 ，即 ， 而 ，所以 ， 由抛物线定义可知 ， 因而 ， 作 于 ，则 ， ， 所以 ， 所以在 中， ， 故选：C. 【点睛】 本题考查了抛物线标准方程及几何性质的简单应用，属于基础题. 二、多选题 9．已知双曲线的方程为 ，则双曲线的（ ） A．离心率为 B．