基本不等式求最小值

基本不等式求最小值解析 针对基本不等式求最值，一直是高考的重点和难点，本人就基本不等式最值的情况分类以及各类别的求解方法加以简析，以供各位参考和指正。 1． 一元不等式求最小值 （1） 配凑法 例1：当x>1时，求的最大值 解：∵x>1 ∴x-1>0 ∴=x-1+1+=2当且仅当 x-1=时即x=2时取得等号。 总结： 当遇见式子出现整式项加一个分数项时，常常用 加或减一个常数项，使得整式凑成与分式相等或者其倍数. 注意：每一次用基本不等式，必须保证参与的每一项“一正二定三相等” 变形：当x<1时，上述式子有最值吗？是最大值还是最小值？多少呢？ 思路解析：∵x<1 ∴x-1<0，此时不可以运用基本不等式来计算最小值，需要变形来解决。 解：∵x<1 ∴x-1<0则=-[-（x+）] =-[-x+（）]=-[-（x+1）+（）+1] 又[-（x+1）+（）+1]≥2）=1=3 ∴-[-（x+1）+（）+1]≤-3 针对练习： 设m>1，P=m+，Q=5，则P，Q的大小关系是 例2：求的最大值 解：原式==≥2=2 当时，即x=0时取得最值。 总结：当遇到一个分式求最值时，观察分子和分母之间的关系，尝试能不能把分子变成坟墓的完全平方式与常数项的和，再利用完全平方式与分母单独分离，再利用基本不等式求解 针对练习： （1） 当x>0时，求y=的最小值 （2） 当x>1时，求y=的最小值 二．二元不等式求最小值 （1）.例3：若x，y>0，x+y=2时，求的最小值。 思路分析：直接利用基本不等式最后得到的是一个变量式而不是一个值，所以无法直接或变形得到最小值，而且二元无法直接利用解除，必须提供等式条件。 解：=*=(1+)*≥*（3+2）= 总结：“1”的妙用，当出现一个整式的和是常数时，求一个分式之和的最小值，尝试让其两个相乘（注意相乘前后的式子的值不变），再利用多项式展开，合并化简，再利用基本不等式求最小值。 变形：若x，y>0，x+y=2时，求的最小值。 解题思路：此时若直接让两个相乘，最后会出现等无法直接利用不等式，所以要对题目所给条件进行变形。 解：∵x+y=2 ∴x+1+y=3 ∴= =(1+++2)*≥*（3+2） 针对练习： ①已知x，y, z>0,x+y+z=3.求的最小值。 ②已知x，y>0，+=，则的最小值是 总结：不等式求最小值多是利用对式子进行变形