2.6 直线与圆的方程的应用-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

直线与圆的方程的应用 类型一：直线与圆的方程在平面几何中的应用 例1．AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点． 证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系， 如下图．设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD． 令C（x0，y0），则D（―x0，―y0）， ∴P（―x0，―y0―2r）． ∴直线CP的方程为 ． 即 (y0+r)x―(y+r)x0=0． ∴直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点（0，―r），即直线CP过定点（0，―r）． 举一反三： 【变式1】如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D交于E、F，求证：EF平分CD． 证明：令圆O方程为x2+y2=1． ① EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程 (x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0． ② ①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0． ③ ③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为 ， 将H＇代入③式，得 ． 即H＇在EF上，∴EF平分CD． 类型二：直线与圆的方程在代数中的应用 例2．已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求 的最大值与最小值． 【解析】（1）如图所示，设M（x，y），则点M在圆O：(x+2)2+y2=1上． 令Q（1，2），则设 ，即kx―y―k+2=0． 过Q作圆O1的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间， ∴kAQ≤kQM≤kQB． 又由O1到直线kx―y―k+2=0的距离为1，得： ，即 ． ∴ 的最大值为 ，最小值为 ． 举一反三： 【变式1】已知点A（―3，0），B（0，3），若点P在圆 上运动，则△PAB面积的最小值为________． 【答案】 【解析】圆的标准方程为 ，圆心C（1，0），半径r=1， 当过P的直线和AB平行时，△PAB的面积最小， ∵A（－3，0），B（0，3），∴AB的方程为 ，即x－y+3=0， 此时圆心C到直线AB的距离 ， 则△PAB的边长 ， AB边上的高 ， 则△PAB面积 ， 故答案为： 【变式2】设函数 和 ，已知当x∈[－4，0]时，恒有 ，求实数a的取值范围． 【解析】因为 ，所以 ， 即 ，分别画出 和 的草图， 利用数形结合法，当直线 与半圆 相切时 取到最大值， 由圆心到直线的距离为2，求出 ，即得答案． 类型三：直线与圆的方程的综合应用 例3．已知圆C关于y轴对称，圆心在x轴上方，且经过点 ，被x轴分成两段弧长之比为1∶2，求圆C的标准方程． 【解析】设圆心C（0，a），a＞0，则半径为CA，根据圆被x轴分成两段弧长之比为1∶2， 可得圆被x轴截得的弦对的圆心角为 ，故有 ，解得a=1， 半径 ，故圆的方程为 ． 举一反三： 【变式1】已知圆x2+y2+x―6y+m=0与直线x+2y―3=0相交于P、Q两点，点O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值． 【解析】 由 得 代入 ， 化简得：5y2-20y+12+m=0， y1+y2=4， 设 的坐标分别为 ， ，由 可得： = = =0 解得： 例4．已知：以点 （t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，与y轴交于点O，B，其中O为原点． （1）当t=2时，求圆C的方程； （2）求证：△OAB的面积为定值； （3）设直线y=－2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程． 【解析】（1）当t=2时，圆心为C（2，1）， ∴圆C的方程为(x―2)2+(y―1)2=5； （2）由题设知，圆C的方程为 ， 化简得 ． 当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）； 当x=0时，y=0或 ，则 ， ∴ 为定值． （3）∵OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN， ∴C、H、O三点共线，KMN=－2，则直线OC的斜率 ， ∴t=2或t=－2． ∴圆心为C（2，1）或C（―2，―1）， ∴圆C的方程为(x―2)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5． 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时，直线2x+y―4=0到圆心的距离d＞r， 此时不满足直线与圆相交，故舍去， ∴所求的圆C的方程为(x―2)2+(y―1)2=5． 【巩固练习】 1．自点A（－1，4）作圆(x－2)2+(y－3)2=1的切线，则切线长为（ ）． A． B．3 C． D．5 1．【答案】B 【解析】 圆心C（2，3）， ，∴切线长 ．