2.5.1-2.5.2直线与圆、圆与圆的位置关系-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

直线、圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系： 1. 直线 与圆 ，圆心到直线的距离 （1） ； （2） ； （3） ；弦长|AB|=2 2.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 求解，通过解的个数来判断： （1）当 时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当 时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 2. 两圆的位置关系 1.设两圆 与圆 ， 圆心距 1　 ； 2　 ； 3　 ； 4　 ； 5　 ； 外离 外切 相交 内切 内含 3.切线问题 1. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k不存在，验证是否成立 ②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即： 例1. 经过点P(1，-2)点作圆(x+1)2+(y-2)2=4的切线，则切线方程为 或 (2) 过圆上一点的切线方程： 圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，设切线方程上某点坐标为 ， 则过此点的切线方程为： ， 则过此点的切线方程也可为： 特别地，过圆 上一点 的切线方程为 . 例2.经过点P(-4，-8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 2.切点弦 过⊙C： 外一点 作⊙C的两条切线，切点分别为 ， 则切点弦 所在直线方程为： 3.切线长： 若圆的方程为(x(a)2+(y(b)2=r2，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长为 d= 4.圆心的三个重要几何性质： 1　 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 2　 圆心在某一条弦的中垂线上； 3　 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 3.两圆公共弦所在直线方程 圆 ： ， 圆 ： ， 则 为两相交圆公共弦方程. 补充说明： ①若 与 相切，则表示其中一条公切线方程； ②若 与 相离，则表示连心线的中垂线方程. 4.圆系问题 1．过直线 与圆 的交点的圆系方程是： （ ） 2．以 为圆心的同心圆系方程是： ； 3．与圆 同心的圆系方程是 ； 4．过同一定点 的圆系方程是 ． 补充： ①上述圆系不包括 ； ②当 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） ③过直线 与圆 交点的 圆系方程为 类型一：直线与圆的位置关系 例1．已知P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，试判断直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系． 【解析】 ∵点P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，∴ ． 又圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离为： ，且 ， ∴ ，∴ ，即d＞R．∴直线x0x+y0y=R2与圆x2+y2=R2相离． 例2．已知直线 与曲线 . （1）求证：不论 为何值，直线 和曲线 恒有两个交点； （2）求当直线 被曲线 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程. 【证明】（1）证法一：将直线 与曲线C的方程联立得： ， 消去y得(1+k2)x2―2(4k2+k+3)x+2(8k2+4k+3)=0． ③ ∵Δ=4(4k2+k+3)2―8(1―k2)(8k+4k+3)=12k2―8k+12= ， ∴方程③有两相异实根，从而，由①②组成的方程组有两组解，即直线 与曲线C恒有两个交点． 证法二：将曲线C的方程配方得(x―3)2+(y―4)2=4，它表示以C（3，4）为圆心，2为半径的圆． 设圆心C到直线 的距离为d，则： ， 即 ，∴直线 与曲线C恒有两个交点． 证法三：注意到直线 ：kx―y―4k+3=0可化为y―3=k(x―4)， 可知直线 恒过定点A（4，3）． ∵曲线C是以C（3，4）为圆心，2为半径的圆，（见“证法二”） 又42+32－6×4－8×3+21＜0，即点A在圆C内，∴直线 与曲线C恒有两个交点． （2）设直线 被曲线C所截的线段为AB，当PQ AB时， 最小，直线PQ的斜率 ， 所以直线AB的斜率 ，其方程 为： 举一反三： 【变式1】若直线y=x+b与曲线 有公共点，则b的值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】曲线方程可化简为 ， 即表示圆心为（2,3），半径为2的半圆，依据数形结合， 当直线 与此半圆相切时须满足圆心（2,3）到直线 距离等于2， 解得 或 ，因为是下半圆，故可得 （舍）， 当直线过（0,3）时，解得 ，故 【变式2】已知直线 ：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4，圆C：(x―1)2+(y―2)2=25， 则m为任意实数时， 与C是否必相交？ 【答案】相交 类型二：切线问题 例3．过点A（4，―3）作圆C：(x―