2.4.1-2.4.2圆的方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

圆的方程 要点一：圆的标准方程 ，其中为圆心， 为半径. 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，则有 (1)若点 在圆上 (2)若点 在圆外 (3)若点 在圆内 要点三：圆的一般方程 当 时，方程叫做圆的一般方程. 为圆心， 为半径. 要点诠释： 由方程 得 (1)当 时，方程只有实数解 .它表示一个点. (2)当 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当 时，可以看出方程表示以 为圆心， 为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据已知条件，建立关于 或 的方程组. (3)解方程组，求出 或 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量 之间的方程． 类型一：圆的标准方程 例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2)已知圆 经过 两点，圆心在 轴上； (3)经过点 ，圆心在点 ． 【解析】(1) (2)线段 的中垂线方程为 ，与 轴的交点 即为圆心 的坐标， 所以半径为 ，所以圆 的方程为 . (3)∵圆的半径 ，圆心在点 ∴圆的方程是 举一反三： 【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A．(x―4)2+(y+1)2=10 B．(x+4)2+(y―1)2=10 C．(x―4)2+(y+1)2=100 D． 【答案】A 例2．求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）； （2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）． 【解析】（1）∵圆心在直线y=0上，∴设圆心坐标为C（a，0）， 则|AC|=|BC|，即 ，即 ， 解得a=―1，即圆心为（―1，0），半径 ， 则圆的标准方程为： ， （2）设圆心坐标为（a，b），则 解得a=1，b=－2，∴ ，∴要求圆的方程为 ． 举一反三： 【变式1】（1）过点 且圆心在直线 上； （2）与 轴相切，圆心在直线 上，且被直线 截得的弦长为 ． 【解析】（1）设圆的方程为： ，则 ，解得： 所求圆的方程为： （2）设圆的方程为： ，则 解得： 或 所求圆的方程为： 或 ． 类型二：圆的一般方程 例3．已知直线x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0表示一个圆． （1）求t的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径； （3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程． 【解析】（1）已知方程表示一个圆 D2+E2―4F＞0，即4(t+3)2+4(1―4t2)2―4(16t4+9)＞0， 整理得7t2―6t―1＜0 ． （2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t2)]2=1+6t―7t2． ∴它的圆心坐标为（t+3，4t2－1），半径为 ． （3）由 ． ∴r的最大值为 ，此时圆的标准方程为： ． 举一反三： 【变式1】（1）求过 的圆的方程，及圆心坐标和半径； （2）求经过点 且与直线 相切于点B（8，6）的圆的方程． 【解析】（1）设圆的方程为： ，则 ，解得： 所以所求圆的方程为： ， 即 ，所以圆心为（4，1），半径为 ． （2）法一：设圆的方程为： ，则 ，解得： 所以圆的方程为 ． 法二：过点 与直线 垂直的直线是 ， 线段 的中垂线为 ， 由 得：圆心坐标为 ，由两点间距离公式得半径 ， 所以圆的方程为 ． 【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长． 【答案】表示圆，圆心坐标 ，半径 【变式3】方程 表示圆，则a的取值范围是 A． 或 B． C． D． 【答案】D 【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为 ，所以若方程表示圆，则有 ，∴ ，∴ ． 例4．（1）△ABC的三个顶点分别为A（―1，5），B（―2，―2），C（5，5），求其外接圆的方程； （2）圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程． 【解析】（1）解法一：设所求的圆的方