2.3.6 拓展：直线系方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

直线系方程 1.平行直线系 以斜率为（常数）的直线系：（为参数）； 平行于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数) 2.垂直直线系 垂直于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数) 3.定点直线系 1.过定点（，）的直线系方程： ① ，不能表示； ② （A，B不同时为0） 2.过两条直线，交点的直线系方程为： ① (是参数但不包括) ② (为参数，且不同时为0)； 考点一：定点问题 1. 若直线l1：y=k（x-4）与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点（ ）图 3 A．（0，2） B．（0，4） C．（－2，4） D．（4，－2） 1. A 直线l1：y=k（x-4）恒过定点（4，0），点（4，0）关于点（2，1）对称的点的坐标为（0，2） 2.已知 满足，则直线必过定点（ ） A． B． C． D． 2.将a=1-2b代入直线方程，得（1-2b）x+3y+b=0，将x=，y=-代入满足方程，故选C. 3.求过直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线方程． 解法一：解方程组得交点P（0，2） ∵k3＝ ， ∴kl＝－ ， 由点斜式得l：y－2＝－x ，即4x＋3y－6＝0． 解法二：设所求直线l：4x＋3y＋C＝0 由解法一知：P(0，2）代入方程，得C＝－6 ，∴l：4x＋3y－6＝0． 解法三：设所求直线l：(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0 整理得(λ＋1)x＋(λ－2)y－2λ＋4＝0 ∵l⊥l3 ∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0 ∴λ＝11 ，∴l的方程为：(x－2y＋4)＋11(x＋y－2)＝0 即4x＋3y－6＝0． 4.证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标. 4.（恒等式法）直线方程化为:, ∵∈R， ∴，解得，，， ∴直线(是参数且∈R)过定点（1,1）. 5. 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 5.设所求直线方程为：， 当直线过原点时，则=0，则=－1，此时所求直线方程为：； 当所求直线不过原点时，令=0，解得=， 令=0，解得=， 由题意得，=，解得， 此时，所求直线方程为：. 综上所述，所求直线方程为：或. 6.已知3a+2b=1，求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点，并求该定点坐标. 6.由3a+2b=1 得：b=(1-3a) 代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0 整理得(2x –-1)+a(x -)=0 由， 得交点(1， ) ∴直线过定点(1， ). 7.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值． 7.解：(1)经过已知两直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2. 所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． 所以dmax＝|PA|＝＝. 8.已知直线与关于直线对称，直线⊥，则的斜率是______. $$直线系方程 1.平行直线系 以斜率为（常数）的直线系：（为参数）； 平行于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数) 2.垂直直线系 垂直于直线是不全为0的常数）的直线系：(C为参数) 3.定点直线系 1.过定点（，）的直线系方程： ① ，不能表示； ② （A，B不同时为0） 2.过两条直线，交点的直线系方程为： ① (是参数但不包括) ② (为参数，且不同时为0)； 考点一：定点问题 1. 若直线l1：y=k（x-4）与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点（ ）图 3 A．（0，2） B．（0，4） C．（－2，4） D．（4，－2） 2.已知 满足，则直线必过定点（ ） A． B． C． D． 3.求过直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线方程． 4.证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标. 5. 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 6.已知3a+2b=1，求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点，并求该定点坐标. 7.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5