2.3.1-2.3.4 直线的交点坐标与距离公式-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

直线的交点坐标与距离公式 要点一、直线的交点 求两直线 与 的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组 的解即可.若有 ，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 ，则方程组无解，此时两直线平行；若有 ，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点二、过两条直线交点的直线系方程 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线 ， 交点的直线方程为 ，其中 是待定系数．在这个方程中，无论 取什么实数，都得不到 ，因此它不能表示直线 ． 要点三、距离公式 两点 间的距离公式为： . 要点四、点到直线的距离公式 点 到直线 的距离为： . 要点五、两平行线间的距离 两平行线间的距离为： . 【典型例题】 类型一、判断两直线的位置关系 例1．是否存在实数a，使三条直线 ， ， 能围成一个三角形？请说明理由． 【解析】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点． （1）当 时， ，即a=±1． （2）当 时，―a=―1，即a=1． （3）当 时， ，即a=1． （4）当 与 、 相交于同一点时，由 得交点（―1―a，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1． 故当a≠1且a≠－1且a≠―2时，这三条直线能围成一个三角形． 举一反三： 【变式1】直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围． 【解析】 解得 ，所以 ，解得 ． 类型二、过两条直线交点的直线系方程 例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程． 【解析】设所求的直线为 ，由方程组 得 ． ∵直线 和直线3x+y―1=0平行，∴直线 的斜率k=―3． ∴根据点斜式有 ， 即所求直线方程为15x+5y+16=0． 举一反三： 【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标． 证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0． 解方程组 ，得两直线的交点为（2，―3）． 将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0． 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）． 证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3 y+11)=0． 由于m取值的任意性，有 ，解得 ． 所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）． 类型三、对称问题 例3．已知直线 1：2x+y―4=0，求 1关于直线 ：3x+4y―1=0对称的直线 2的方程． 【解析】 解法一：由 ，得直线 1与 的交点为P（3，―2），显然P也在直线 2上． 在直线 1上取一点A（2，0），又设点A关于直线 的对称点为B（x0，y0），则 ，解得 ．故由两点式可求得直线 2的方程为2x+11y+16=0． 解法二：设直线 2上一动点M（x，y）关于直线 的对称点为 ，则： ，解得 ． 显然 在 1上，故 ， 即2x+11y+16=0，这便是所求的直线 2的方程． 举一反三： 【变式1】点P（―1，1）关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），则a、b的值依次是（ ） A．―2，2 B．2，―2 C． D． 【答案】B【解析】点P（―1，1），关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1）， ∴PQ的中点为（1，0）， ． ∴ ，解得：a=2，b=－2． 例4．在直线 ：3x―y―1=0上求一点P，使得： （1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大； （2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小． 【解析】（1）如图1所示，设点B关于 的对称点B＇的坐标为（a，b）， ，即 ， ∴a+3b－12=0． ① 又由于BB＇的中点坐标为 ，且在直线 上， ∴ ，即3a―b―6=0． ② 解①②得a=3，b=3，∴B＇（3，3）． 于是直线AB＇的方程为 ，即2x+y－9=0． 解由 的直线方程与AB＇的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即 与AB＇的交点坐标为（2，5），所以P（2，5）． （2）如图2所示，设C关于 的对称点为C＇，求出C＇的坐标为 ． ∴AC＇所在直线的方程为19x+17y―93=0． AC＇和 交点坐标为 ． 故P点坐标为 ． 举一反三： 【变式1】已知点M（3，5），在直线 ：x―2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小． 【解析】由点 及直线 ，可求得点 关于 的对称点 ． 同样容易求