2.2.3 直线的一般式方程及综合-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

直线的一般式方程及综合 【典型例题】 类型一：直线的一般式方程 例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是 ，经过点A（8，―2）； （2）经过点B（4，2），平行于x轴； （3）在x轴和y轴上的截距分别是 ，―3； （4）经过两点P1（3，―2），P2（5，―4）． 【解析】 （1）由点斜式方程得 ，化成一般式得x+2y―4=0． （2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0． （3）由截距式得 ，化成一般式得2x―y―3=0． （4）由两点式得 ，化成一般式方程为 ． 举一反三： 【变式1】已知直线 经过点 ，且倾斜角是 ，求直线的点斜式方程和一般式方程. 【解析】因为直线倾斜角是 ，所以直线的斜率 ， 所以直线的点斜式方程为： ， 化成一般式方程为： . 例2． 的一个顶点为 ， 、 的平分线在直线 和 上，求直线BC的方程. 【答案】 【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等， 所以可得A点关于 的平分线的对称点 在BC上， B点关于 的平分线的对称点 也在BC上．写出直线 的方程，即为直线BC的方程. 例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线 的方程． 【解析】解法一：设直线 的斜率为k，∵ 与直线3x+4y+1=0平行，∴ ． 又∵ 经过点（1，2），可得所求直线方程为 ，即3x+4y―11=0． 解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线 的方程为：3x+4y+m=0， ∵ 经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11． ∴所求直线方程为3x+4y―11=0． 举一反三： 【变式1】已知直线 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时: （1） 与 平行（2） 与 垂直. 【解析】当 时， ：8y-10=0； ：x-4=0， 当 时， ： ； ： 由 ，得 ，由 得 而 无解 综上所述（1） ， 与 平行．（2） ， 与 垂直． 【变式2】 求经过点A（2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线 的方程． 【解析】因为直线 与直线2x+y―10=0垂直，可设直线 的方程为 ， 把点A（2，1）代入直线 的方程得： ，所以直线 的方程为：x－2y=0． 类型二：直线与坐标轴形成三角形问题 例4．已知直线 的倾斜角的正弦值为 ，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线 的方程． 【解析】设直线 的方程为 ，倾斜角为 ，由 ，得 ． ∴ ，解得 ．故所求的直线方程为 或 ． 举一反三： 【变式1】已知直线m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0． （1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程； （2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程． 【解析】（1）由 ，解得 ， 即两直线m，n交点坐标为（2，1）， 设与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程为x+2y+c=0， 则2+2×1+c=0，解得c=―4， 则对应的直线方程为x+2y―4=0； （2）设过（2，1）的直线斜率为k，（k≠0）， 则对应的直线方程为y―1=k(x―2)， 令x=0，y=1―2k，即与y轴的交点坐标为A（0，1―2k） 令y=0，则 ，即与x轴的交点坐标为 ， 则△AOB的面积 ， 即 ， 即 ， 若k＞0，则方程等价为 ， 解得 或 ， 若k＜0，则方程等价为 ， 解得 ． 综上直线的方程为 ，或 ，或 即 ，或 ，或 例5.过点P(2，1)作直线 与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线 的方程. 【解析】解法一：设直线 的方程为:y-1=k(x-2)， 令y=0，得:x= ； 令x=0，得y=1-2k， ∵ 与x轴、y轴的交点均在正半轴上， ∴ >0且1-2k>0 故k<0， △AOB的面积 当且仅当-4k=- ，即k=- 时，S取最小值4， 故所求方程为y-1=- (x-2)，即:x+2y-4=0. 解法二：设直线方程为 ， ∴A(a，0)，B(0，b)，且a>0，b>0， ∵点P(2，1)在直线 上，故 ，由均值不等式:1= 当且仅当 ，即a=4，b=2时取等号，且S= ab=4，此时 方程为 即:x+2y-4=0. 解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN， 垂足分别为M、N，设 =∠PAM=∠BPN，则△AOB面积 S=S矩形OMPN+S△PAM+S△BPN = =4，当且仅当 时，S△AOB 有最小值4，故此时直线 的方程为y-1=- (x-2)，即:x+2y-4=0. 举一反三： 【变式1】已知a∈（0，2），直线 1：ax―2y―2a+4=0和直线 2：2x+a2y―2a2―4=0与坐标轴围成