2.2.1-2.2.2 直线的点斜式与两点式-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

直线的点斜式与两点式方程 1.直线方程的五种表达方式： 5种形式 方程 局限性 各常数的几何意义 点斜式 不能表示与 轴垂直的直线 是直线上一定点， 是斜率 斜截式 不能表示与 轴垂直的直线 是斜率， 是 轴上的截距 两点式 不能表示与 轴、 轴垂直的直线 、 是直线上两个不同定点 截距式 不能表示与 轴垂直、 轴垂直、过原点的直线 是 轴上的非零截距， 是 轴上的非零截距 一般式 表示所有的直线 当 时， 是斜率， 是 轴上的截距 2.线段中点坐标公式： 若点 ， 的坐标分别为 ， ，且线段 的中点M的坐标为 ，则 . 3.直线系方程 1.平行直线系 以斜率为 （常数）的直线系： （ 为参数）； 平行于直线 是不全为0的常数）的直线系： (C为参数) 2.垂直直线系 垂直于直线 是不全为0的常数）的直线系： (C为参数) 3.定点直线系 【典型例题】 类型一：点斜式直线方程 例1．已知直线 过点（1，0），且与直线 的夹角为30°，求直线 的方程。 【解析】 ∵直线 的斜率为 ，∴其倾斜角为 ，且过点（1，0）。 又直线 与直线 的夹角为30°，且过点（1，0），直线 的倾斜角为30°或90°。 故直线 的方程为x=1或 。 举一反三： 【变式1】（1）直线y=x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线 ，求直线 的点斜式方程； （2）直线 过点P（2，－3），且与过点M（－1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线 的方程． 【解析】（1）直线y=x+1的斜率k=1，所以倾斜角为45°． 由题意知，直线 的倾斜角为135°，所以直线 的斜率k＇=tan135°=－1． 又点P（3，4）在直线 上，由点斜式方程知，直线 的方程为y－4=－(x－3)，即x+y－7=0． （2）直线MN的斜率 ，所以该直线平行于x轴． 又直线 垂直于直线MN，因此直线 的倾斜角为90°，又直线 过点P（2，－3）， 所以直线 的方程为x－2=0，即x=2． 【变式2】 直线 过点P（－l，2），斜率为 ，把 绕点P按顺时针方向旋转30°得直线 ，求直线 和 的方程． 【解析】 直线 的方程是 ． ∵ ，∴ ． 如图， 绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线 的倾斜角为 ，∴ ，∴ 的方程为 ． 类型二：斜截式直线方程 例2．（1）写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式； （2）求过点A（6，－4），斜率为 的直线方程的斜截式； （3）已知直线方程为2x+y－1=0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 【解析】 （1）易知k=－1，b=－2， 由直线方程的斜截式知， 所求直线方程为y=－x－2． （2）由于直线的斜率 ，且过点A（6，－4）， 根据直线方程的点斜式得直线方程为： ， 化为斜截式为 ． （3）直线方程2x+y－1=0，可化为y=－2x+1， 由直线方程的斜截式知，直线的斜率k=－2，在y轴上的截距b=1， 直线与y轴交点的坐标为（0，1）。 举一反三： 【变式1】(1)写出倾斜角是 ，在 轴上的截距是-2直线的斜截式方程； （2）写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？ 【解析】 （1） （2）由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m。 ∵直线过点（1，1），将x=1，y=1代入方程y=2x+m得1=2×1+m，∴m=―1即为所求。 类型三：两点式直线方程 例3．已知△ABC三个顶点坐标A（2，－1），B（2，2），C（4，1），求三角形三条边所在的直线方程． 【解析】 ∵A（2，－1），B（2，2），A、B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x=2。 ∵A（2，－1），C（4，1），由直线方程的两点式可得AC的方程为 ，即x―y―3=0。 同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为： ，即x+2y－6=0。 ∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为：x=2，x―y―3=0，x+2y―6=0。 举一反三： 【变式1】 （1）求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程； （2）直线 过（－1，－1）、（2，5）两点，点（1002，b）在 上，则b的值为________． 【解析】（1）由两点式的直线方程得： （2）直线 的方程为 ， 即 ， 即y=2x+1． 令x=1002，得y=2005，∴b=2005． 类型四：截距式直线方程 例4．设直线l的方程为（a+1）x+y+2―a=0（a∈R）． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2