1.1.2 空间向量的数量积-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

空间向量的数量积 【要点梳理】 要点一、空间向量的数量积 1．两个向量的数量积． 已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b， 即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉． 2．空间向量数量积的性质 设是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 3．空间向量的数量积满足如下运算律： （1）（a）·b=（a·b）； （2）a·b=b·a（交换律）； （3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）． 要点诠释： （1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量， 若不能得出，即向量不能约分． （2）若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算． （3）对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c， 有，向量的数量积不满足结合律． 要点二、 空间两个向量的夹角． 1. 定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉， 那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。 要点诠释： 1. 规定： 2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向； 如果，那么与垂直，记作。 2. 利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 要点三、空间向量的长度。 1. 定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模： 。 将其推广：； 。 要点四、空间向量的垂直。 若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b． 根据数量积的定义：⊥⇔·＝0 【典型例题】 类型一：空间向量的数量积 例1．已知向量，向量与的夹角都是，且， 试求：（1）；（2）． 【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且， ∴ （1）=＝1+16+9+0-3-12=11； （2）=＝0--8+18= 举一反三： 【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a） ；（2a+b-3c）2= . 【答案】-62，373 （a+3c）·（3b-2a）=3a·b-2a2+9c·b-6a·c =3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62. 同理可得（2a+b-3c）2=373 【变式2】已知：, ，试计算 【答案】由, 可得 ∵， ∴。 例2.如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G 分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积． （1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】 在空间四边形ABCD中， （1）∵，，∴ （2）∵，，，∴ （3）∵，，又，∴ ∴ （4）∵，，， ∴，∴ 举一反三： 【变式1】正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则的值为（ ） A.4 B.-4 C.-2 D.2 【答案】C【解析】, = = =-2. 类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角． 例3. 如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值． 【解析】 设，，，则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c三个向量两两夹角均为60°， ∴．∵ ． ∴，故所成角的余弦值为 举一反三： 【变式1】空间四边形OABC中，OB=OC，，则（ ） A. B. C. D.0 【答案】D 由于OB=OC则 ==0 【变式2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值. 【解析】设正方体棱长为m，=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=m，a·b=b·c=c·a=0， 又∵=+=+=a+b，=+=+=c+a， ∴·=(a+b)(c+a)=a·c+b·c+a2+a·b=a2=m2. 又∵||=m,||=m，∴cos<,>=== 即A1C1与DE所成角的余弦值为. 类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。 例4、如