1.1.1 空间向量及其线性运算-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

空间向量及其线性运算 【要点梳理】 要点一、空间向量的相关概念 1.空间向量的定义： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。 2.空间向量的长度（模）： 表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3．空间向量的有关概念： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 单位向量：长度为1的空间向量，即. 相等向量：方向相同且模相等的向量。 相反向量：方向相反但模相等的向量。 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 要点诠释： ①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． ②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 要点二、空间向量的加减法 1．加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 2．运算律 交换律： 结合律： 空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 要点三、空间向量的数乘运算 定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当＞0时，a与a方向相同； 当＞0时，a与a方向相反； 当=0时，a=0． a的长度是a的长度的||倍．如右图所示． 2．运算律． 分配律：(a+b)=a+b； 结合律：(μa)= (μ)a． 要点四、共线定理 1．共线向量的定义． 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．注意： 0与任意向量是共线向量． 2．共线向量定理． 空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使． 要点诠释：此定理可分解为以下两个命题： a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b； 存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b． 注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一． 3. 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 要点五、共面定理 1．共面向量的定义． 通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了． 2．共面向量定理． 如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（）， 使． 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有， 上式叫做平面的向量表达式． 3.共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 【典型例题】 类型一：空间向量的线性运算 例1.如图，空间四边形OABC中， ， ， ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则 =（ ） A． B． C． D． 【解析】选：A， ∵ ， ， ，∴ ， 举一反三： 【变式1】如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） 【答案】A 显然 【变式2】已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且 ， ， ，用 ， ， 表示向量 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】如图所示，连接ON，AN，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 例2、如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） ①；②； ③；④． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】 ①； ②； ③； ④． 因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式运算的结果不为向量．故选A． 举一反三： 【变式1】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式： （1）； （2）； （3）； （4）。 【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0。 （1）； （2）； （3）； （4）。