3.3 抛物线-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 3.3抛物线 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分） 1．如图，已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆 ，过圆心 的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则 的最小值为 A．36 B．42 C．49 D．50 【答案】B 【解析】 【分析】 设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，根据韦达定理可得 ，则 ，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果. 【详解】 设抛物线方程为 由抛物线过定点 得 ，抛物线方程 ，焦点为 ， 圆的标准方程为 圆心为 ，半径 ， 由于直线过焦点，可设直线方程为 ，设 ， 又 ， 时等号成立， 的最小值为 ，故选B. 【点睛】 本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式 求最值，要注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”. 2．设抛物线 ( )的焦点为 ,准线为 ,过焦点的直线分别交抛物线于 两点,分别过 作 的垂线,垂足为 .若 ,且三角形 的面积为 ,则 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据线条长度关系解除A、B点横坐标 （用 表示）， 然后利用三角形面积公式列出一个关于 的方程，解出 即可. 【详解】 过点B作 交直线AC于点M，交 轴于点N， 设点 ， 由 得 ， 即 ……①， 又因为 , 所以 , 所以 ， 所以 ……②， 由①②可解得 ， 在 中， ， ， 所以 ， 所以 , 解得 或 （舍去）， 故选：C 【点睛】 本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键. 3．如图，圆锥底面半径为 ，体积为 ， 、 是底面圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点，已知过 与 的平面与圆锥侧面的交线是以 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 的距离等于（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点 的距离. 【详解】 将抛物线放入坐标系，如图所示， ∵ ， ， ， ∴ ，设抛物线 ，代入 点， 可得 ∴焦点为 ， 即焦点为 中点，设焦点为 ， ， ，∴ . 故选：D 【点睛】 本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识. 4．已知点 是抛物线 上的一点，若以其焦点 为圆心，以 为半径的圆交抛物线的准线于 、 两点，若 且满足 ，当 的面积为 时，则实数 的值为( ) A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】 由 ,移项得 - ,化简为 ,即 ,可得 , ,又由图知 ,则在 中, ,设A到BC的距离为d,则 , , ,解得p= ,故选B. 点睛:本题考查圆锥曲线和三角函数的综合问题,属于中难档题目.首先根据题中给出角的等式,利用二倍角公式和诱导公式,结合因式分解求出角的值,再根据三角形的面积公式,结合抛物线的定义以及圆的定义,将三角形的底和高都用抛物线方程中的p和角 来表示,列出三角形ABC的面积,求出p的值. 5．与圆 外切，又与 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A． B． （ ）和 C． （ ） D． （ ）和 （ ） 【答案】D 【解析】 圆 化为 ，圆心 ，半径 ，设动圆的圆心为 ，半径为 ，则根据题意 ，且 ，即 ，当 时，化简有 ，即 ， 当 时，化简有 ，即 ，故选择D. 点睛：对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点 满足定义，它到准线的距离为 ，则 ，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.另外在对方程化简的过程中注意分类讨论思想方法的应用，考查学生划归转化能力. 6．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线 ： ，如图，一条平行于 轴的光线从点 发出，射向抛物线上的点 ，反射后经过抛物线 的焦点 射向抛物线上的点 ，再反射后又沿平行于 轴的方向射出至点 ，下列说法中正确的是（ ） A．光路 长度的最小值为10 B．光路 长度的最大值为10 C．光路 长度恒等于10 D．以上说法均不正确 【答案】C 【解析】