3.2 双曲线-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 3.2双曲线 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分） 1．已知不等式 所表示的平面区域内一点 到直线 和直线 的垂线段分别为 ，若三角形 的面积为 ，则点 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 如图所示，不等式 所表示的平面区域内一点 ，可得点 的轨迹为直线 之间并且包括 轴在内的区域，再根据三角形 的面积为 ，即可求得点 轨迹的一个焦点坐标. 【详解】 如图所示， 则 ， . 不等式 所表示的平面区域内一点 ，可得点 的轨迹为直线 之间并且包括 轴在内的区域． ∴ ∵ 三角形 的面积为 ∴ ，即 点轨迹方程为 . ∴焦点坐标为 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 2．已知 是双曲线 的左焦点，过 作一条渐近线的垂线与右支交于点 ，垂足为 ，且 ，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由点到直线距离公式结合已知可得 ，由双曲线的定义可得 ，由余弦定理可得 ，从而可得结果. 【详解】 设双曲线右焦点为 ，连接 ， 左焦点 到渐近线 的距离为 ， 故 ， 在 中， ，由双曲线定义得 ， 在 中，由余弦定理得 ， 整理得 ，即 ， 又 ，解得 ， ， 双曲线方程为 . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查双曲线的方程、定义与几何性质，解题时注意余弦定理与点到直线距离公式的应用，属于中档题. 3．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线的右支上，点 为 的中点， 为坐标原点， ， ， 的面积为 ，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 作出图形，利用双曲线的定义可得 ，利用余弦定理和三角形的面积公式可求得 的面积为 ，可求得 的值，进而可求得 的值，由此可得出双曲线的方程. 【详解】 如下图所示： 为 的中点， 为 的中点，则 ，即 ，可得 ， 且有 ，则 ， 在 中，由余弦定理得 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 则 的面积为 ，解得 ， . 因此，该双曲线的标准方程为 . 故选：C. 【点睛】 本题考查双曲线标准方程的求解，考查了双曲线焦点三角形面积的计算，考查了余弦定理以及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 4．黄金分割起源于公元前 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前 年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 ，把 称为黄金分割数. 已知双曲线 的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出双曲线的焦距，然后根据实轴长与焦距的比值为黄金分割数得到关于 的方程，解方程可得所求． 【详解】 由题意得，在双曲线中 ， ∴ ． ∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得 ． 故选A． 【点睛】 本题考查双曲线的基本性质，解题的关键是根据题意得到关于参数 的方程，考查对新概念的理解、运用和计算能力，属于中档题． 5．方程 表示双曲线的充分不必要条件是（ ） A． 或 B． C． D． 或 【答案】C 【解析】 【分析】 根据双曲线的标准方程，方程 表示双曲线，可得 ，解得 的范围，根据充分必要条件判断得出结论即可． 【详解】 解：方程 表示双曲线，可得 ，解得 或 ； 记集合 或 ； 所以方程 表示双曲线的充分不必要条件为集合 的真子集， 由于 ， 故选： ． 【点睛】 本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= 图像上的点，则|OP|=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可知，点 既在双曲线的一支上，又在函数 的图象上，即可求出点 的坐标，得到 的值． 【详解】 因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右