3.1 椭圆-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 3.1椭圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分） 1．已知 的两个顶点分别为 的周长为18，则点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知定点 ， ， 是椭圆 上的动点，则 的最小值为（ ） A．2 B． C． D．3 3．地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中 点和 点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为 千米，短半轴长约为 千米，则该椭圆的离心率约为 .因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（ 月 日前后）和秋分（ 月 日前后），地球会分别运行至图中 点和 点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ） A．① B．①② C．②③ D．①③ 4．如图，椭圆 的焦点为 、 ，过 的直线交椭圆 于 、 两点，交 轴于点 .若 、 是线段 的三等分点，则 的周长为（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆C: ( )的左右焦点分别为 ,如果C上存在一点Q,使 ,则椭圆的离心率 的取值范围为( ) A． B． C． D． 6．.如图，已知 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上任意一点，过 作 的外角的角平分线的垂线，垂足为 ,则点 的轨迹为 A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 7．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，过左焦点 倾斜角为 的直线交椭圆上半部分于点 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，若点 在椭圆上，则 等于（ ） A． B． C． D． 8．长方体 中， ， ， ， 为该正方体侧面 内（含边界）的动点，且满足 .则四棱锥 体积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，两个椭圆 内部重叠区域的边界记为曲线 是曲线 上的任意一点，下列四个说法正确的为（ ） A． 到 四点的距离之和为定值 B．曲线 关于直线 均对称 C．曲线 所围区域面积必小于36 D．曲线 总长度不大于 10．已知 是椭圆 的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点 ， EMBED Equation.DSMT4 组成公差为 的等差数列，则（ ） A．该椭圆的焦距为6 B． 的最小值为2 C． 的值可以为 D． 的值可以为 11．我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 ， 分别为左、右顶点， 分别为上、下顶点， 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ） A． B． C． 轴，且 D．四边形 的内切圆过焦点 12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，椭圆 的上顶点为 ，且 曲线 和椭圆 有相同焦点，且双曲线 的离心率为 ， 为曲线 与 的一个公共点，若 ，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．一光源 在桌面 的正上方，半径为 的球与桌面相切，且 与球相切，小球在光源 的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是 ，其中 ，则该椭圆的长轴长为_______ 14．已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率 ，直线 交椭圆于 两点，如果 的重心恰好为椭圆的右焦点 ，直线 方程为________． 15．设椭圆 的左右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆上运动， 的最大值为m， 的最小值为n，且m≥2n，则该椭圆的离心率的取值范围为________ 16．设点 是椭圆 ： 上的动点， 为 的右焦点，定点 ，则 的取值范围是____． 四、解答题 17．某海域有 两个岛屿， 岛在 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线 ，曾有渔船在距 岛、 岛距离和为8海里处发出过鱼群．以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线 的标准方程； （2）某日，研究人员在 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， 两岛收到鱼群在 处反射信号的时间比为 ，问你能否确定 处的位置（即点 的坐标）？ 18．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上第一象限内的一点，且直线 的斜率为 . （1）求点 的坐标； （2）过点 作一条斜率为负数的直线 与椭圆 从左到右依次交于 ， 两点.是否存在实数 ，使得 恒成立.若存在，求