专题13.1 线段垂直平分线的性质定理-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题一：线段垂直平分线的性质定理（有答案） 知识指引 同一平面内两条不平行的直线必然相交，而对于一条已知的线段来说，经过这条线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线，它是具有特殊性质的点的集合，下面我们就来学习一下这条直线，并学会利用线段垂直平分线性质解决相应的问题： · 线段的垂直平分线的定义 经过这条线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线， · 线段垂直平分线的尺规作图 求作线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点诠释： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． · 线段的垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 注意：上表中“线上的点”包含两层含义：（1）点在垂直平分线上；（2）点是任意的； · 说明： （1） 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件； （2）线段垂直平分线的性质的运用体现了从文字语言到符号语言的转化. 典型例题 类型一：利用线段垂直平分线的性质定理进行相应的计算 【例1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）． A．13 B．15 C．17 D．19 【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周长为AB+BC，代入求出即可． 【解析】∵AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点， ∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，∵△ABC的周长为23， ∴AB+BC+AC=23， ∴AB+BC=23﹣8=15， ∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15， 故选B． 变式：如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为(        )   A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据线段垂直平分线性质得出，，求出，，即可求出，即可得出答案． 【解答】∵ 是的垂直平分线， ∴ ，， ∵ 的周长为，的周长为， ∴ ，， ∴ ， ∴ .故选A. 类型二：利用线段垂直平分线的性质定理进行相应的全等证明 【例2】如图，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：BE=CF． 【分析】连接BD，CD，由角平分线的性质和中垂线的性质就可以得出△BED≌△CFD就可以得出结论． 【证明】连接BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF． ∵DG垂直平分BC，∴DB=DC． 在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．∴BE=CF． 变式：如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB=CD，∠ABD=120°，∠CDB=38°，求∠OBD的度数． 【解答】连接OA，OC． ∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AB=CD， ∴△ABO≌△CDO（SSS）， ∴∠ABO=∠CDO， 设∠OBD=∠ODB=α，∠ABO=∠CDO=β， ∴α+β=120°，β-α=38°， ∴α=41°， ∴∠OBD=41°． 强化练习 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知PA＝5，则PB的长为( ) . A．6 B．5 C．4 D．3 [来源:学*科*网Z*X*X*K] 【答案】B 2．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3，BD＝1.6，则四边形ACBD的周长是( ) ． A．3.9 B．7.8 C．4 D．　4.6 【答案】B． 3.如图，AC是线段BD的垂直平分线，E是AC上的一点，则图中全等的三角形的对数共有( )． A．3对 B．4对　　　C．5对 D．6对 [来源:学科网ZXXK] 【答案】D 4. 如图，分别以△ABC的顶点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，过两弧交点的直线交AC于点D，连接DB，若BC＝6，AC＝10，则△DBC的周长等于（ ） A．12 B．14 C．16 D．24[来源:Zxxk.Com]