专题20立体几何与空间向量C辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题20立体几何与空间向量C辑 历年联赛真题汇编 1．【2003高中数学联赛（第01试）】将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 . 【答案】 【解析】如图，由已知，上下层四个球的球心A'，B'，C'，D'和A，B，C，D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆圆O'和圆O为上下底面构成圆柱.同时，A'在下底面的射影必是AB的中点M. 在△A'AB中，设AB的中点为N，则， 又，所以，. 因此所求原来圆柱的高为. 2．【2002高中数学联赛（第01试）】如图，点分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(1<i<j<k≤10)有 个. 【答案】33 【解析】首先，在每个侧面上除点P1外尚有五个点，其中任意三点组添加点P1后组成的四点组都在同一个平面，这样的三点组有个，三个侧面共有个. 其次，含P1的每条棱上的三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的四点组也在一个平面上，这样的四点组有3个. 综上，共有个. 3．【2001高中数学联赛（第01试）】正方体的棱长为1，则直线与BD1的距离是 . 【答案】 【解析】这是一道求两条异面直线距离的问题.为了保证所作出的表示距离的线段与和BD1都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内. 为此作正方体的对角面，则⊥面，且⊥面. 设，在面内作，垂足为H， 则线段OH的长为异面直线与BD1的距离，在Rt△BB1D1中，OH等于斜边BD1上高的一半，即. 4．【2000高中数学联赛（第01试）】一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是 . 【答案】 【解析】正四面体的高，该球的球心必在正四面体的中心，即在AO1上的点O处. 通过分割法(即联结点O与A，B，C，D割成四个小三棱锥，计算体积)可知， 于是，所以. 5．【1999高中数学联赛（第01试）】已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H－AB－C的平面角等于30°，.那么三棱锥S－ABC的体积为 . 【答案】 【解析】如图，由题设AH⊥面SBC，作于E. 由三垂线定理可知. 故SC⊥面ABE. 设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC， 由三垂线定理的逆定理，可知于F. 同理故O为△ABC的垂心. 又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而， 因为，CF是EF在面ABC上的射影， 又三垂线定理， 所以∠EFC是二面角H－AB－C的平面角.故. 所以，， 又，所以， 所以. 6．【1998高中数学联赛（第01试）】△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A，B两点间的距离为，此时三棱锥A－BCM的体积等于 . 【答案】 【解析】折起后的三棱锥A－BCM如图所示.取CM的中点D，联结AD.在△BCM中，作，交BC于E，联结AE， 则，，， 在△ABC中，所以. 因此在△ACE中， 所以. 又，因此， 从而AE⊥平面BCM. 所以. 7．【1997高中数学联赛（第01试）】已知三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S，A，B，C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 . 【答案】 【解析】如图，设等腰直角△ABC中斜边AB的中点为D，则D为△ABC的外心. 由知S在底面ABC上的射影为D.从而，球心O在SD上且. 所以，O是△SAB的中心.而△SAB是等边三角形，. 所以，O到平面ABC的距离. 8．【1996高中数学联赛（第01试）】已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是 . 【答案】3 【解析】如图：∠AED是二面角A－BC－D对应的平面角，∠BFD是二面角B－AC－D对应的平面角，则， 显然，那么， 设，于是， 又，于是. 由，所以， 即，解得. 9．【1995高中数学联赛（第01试）】一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 . 【答案】 【解析】如图，设球的半径为R，其直径为h，底面半径为r.由过球心与内接圆锥顶点的任意所得截线段如图.易知. 所以. 因为为定值. 所以当，即时，V圆锥最大. . 又， 所以. 10．【1995高中数学联赛（第01试）】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 . 【答案】420 【解析】由题设，四棱椎S－ABCD的