专题18立体几何与空间向量A辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题18立体几何与空间向量A辑 历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】若三个棱长均为整数(单位：cm)的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为( ) A．764cm3或586cm3 B．764cm3 C．586cm3或564cm3 D．586cm3 【答案】A 【解析】设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，则有，即. 不妨设，从而， 即，故，c只能取9，8，7，6. 若c=9，则，易知， 得一组解， 若c=8，则， 但，即，从而b=4或5. 若b=5，则a2=5无解；若b=4，则a2=14无解.因此c=8时无解. 若c=7，则，有唯一解， 若c=6，则，此时， 即，故，但，所以， 此时无解. 综上，共有两组解或， 体积为或. 故选A. 2．【2007高中数学联赛（第01试）】在正四棱锥P－ABCD中，∠APC=60°，则二面角A－PB－C的平面角的余弦值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M.联结CM，AC，则∠AMC为二面角A－PB－C的平面角. 不妨设，则，斜高为， 故，由此得. 在△AMC中，由余弦定理得. 故选B. 3．【2006高中数学联赛（第01试）】在直三棱柱中，.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0<t1<1)，. 所以，. 因为，所以，由此推出， 又， ， 从而有. 故选A． 4．【2005高中数学联赛（第01试）】如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体.任作平面与对角线AC'垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则( ). A．S为定值，不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值 【答案】B 【解析】将正方体切去两个正三棱锥A－A'BD与C－D'B'C后，得到一个以平行平面A'BD与D'B'C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱AB剪开，展平在一个平面上，得到一个平行四边形A'B'B1A1，而多边形W的周界展开后便成为一条与A'A1平行的线段(如图中E'E1)，显然，故l为定值. 当E'位于A'B'中点时，多边形W为正六边形，而当E'移至A'处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为与， 故S不为定值. 故选B． 5．【2004高中数学联赛（第01试）】顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥C－HPC的体积最大时，OB的长是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，又，所以面PAB⊥面POB，所以. C是PA中点，所以，所以当时，S△HOC最大，也即最大. 此时，故， 所以，所以. 故选：D. 6．【2003高中数学联赛（第01试）】四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一如图，过B作，则四边形BCDE为平行四边形，异面直线AB与CD所成角为， 从而， 因为，所以CD∥平面ABE. 因为点D到平面ABE的距离h等于异面直线AB与CD的距离，即h=2. 故. 解法二如图，分别取BC，CA，AD，DB的中点PQ，R，S， 则四边形PQRS是∠QPS=60°的平行四边形， 且，，AB∥平面PQRS∥CD. 设AB，CD与平面PQRS的距离分别为，则， 由拟柱体的体积公式，得. 7．【2002高中数学联赛（第01试）】曲线围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1.满足的点(x，y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如题图，两个图形绕y轴旋转所得旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，则所得截面面积 ，， 所以， 由祖暅原理知，两个几何体体积相等 所以. 故选C 8．【2001高中数学联赛（第01试）】命题I：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题Ⅱ：长方体中，必存在到各棱距