专题17平面解析几何C辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题17平面解析几何C辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A,B,C在双曲线上,满足为等腰直角三角形.求的面积的最小值. 【答案】 【解析】不妨设等腰直角的顶点逆时针排列,A为直角顶点. 设,则且的面积. 注意到A在双曲线上,设，则,. 由在双曲线上,可知, 这等价于： ① . ② 由①、②相加,得,即. ③ 由①、②相乘,并利用③,得 . 所以由基本不等式得： ,④ 故. 以下取一组满足条件的实数,使得(进而由可确定一个满足条件的,使得). 考虑④的取等条件,有,即. 不妨要求,结合,得,. 由①知,故由③得,其中, 从而有. 综上,的面积的最小值为. 2．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在椭圆Γ中,A为长轴的一个端点,B为短轴的一个端点,为两个焦点.若,求的值. 【答案】 【解析】由对称性,设椭圆Γ的方程为,,其中. 由条件知. 所以. 记O为坐标原点,则,. 所以. 3．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与x轴相切于的焦点F.求圆的半径. 【答案】 【解析】易知的焦点F的坐标为(1，0).设圆的半径为r(r>0).由对称性，不妨设在x轴上方与x轴相切于点F，故的方程为. ① 将代入①并化简，得. 显然y>0，故 ② 根据条件，②恰有一个正数解y，该y值对应与的唯一公共点. 考虑的最小值. 由平均值不等式知， 从而. 当且仅当，即时，f(y)取到最小值. 由②有解可知. 又假如，因f(y)随y连续变化，且y→0+及y→+∞时，f(y)均可任意大， 故②在及上均有解，与解的唯一性矛盾. 综上，仅有满足条件(此时是与的唯一公共点). 4．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在椭圆中，F为一个焦点，A、B为两个顶点若|FA|=3，|FB|=2，求AB的所有可能值. 【答案】答案见解析 【解析】不妨设平面直角坐标系中椭圆的标准方程为， 并记.由对称性，可设F为的右焦点. 易知F到的左顶点的距离为a+c，到右顶点的距离为a－c，到上下顶点的距离均为a.分以下情况讨论: (1)A、B分别为左、右顶点.此时a+c=3，a－c=2，故|AB|=2a=5(相应地，b2=(a+c)(a－c)=6，的方程为). (2)A为左顶点，B为上顶点或下顶点.此时a+c=3，a=2，故c=1，进而， 所以(相应的方程为). (3)A为上顶点或下顶点，B为右顶点.此时a=3，a－c=2，故c=1，进而， 所以(相应的方程为). 综上可知，|AB|的所有可能值为. 5．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆的左、右顶点与上、下顶点.设P，Q是上且位于第一象限的两点，满足OQ∥AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R. 证明:线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形. 【答案】证明见解析 【解析】设点P坐标为.由于，，故存在实数、μ，使得. 此时点Q、R的坐标可分别表示是. 由于点Q、R都在椭圆上，所以. 结合知，上式可化为， 解得，因此 . 从而线段OQ、OR、BC能构成一个直角三角形. 6．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，曲线，曲线.经过C1上一点P作一条倾斜角为45°的直线l，与C2交于两个不同的点Q、R，求的取值范围. 【答案】 【解析】设P(t2，2t)，则直线l的方程为y=x+2t－t2， 代入曲线C2的方程得， 化简可得 ① 由于l与C2交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式△为正. 计算得， ， 因此有 ② 设Q、R的横坐标分别为，由①知，， 因此，结合的倾斜角为45°可知， ③ 由②可知，，故， 从而由③得，. 注1利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式，同样可以求得②中t的范围. 注2更简便的计算的方式是利用圆幂定理.事实上，C2的圆心为M(4，0)，半径， 故. 7．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点.设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A，B，焦点F1到直线l的距离为d.如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围 【答案】 【解析】由条件知，点F1，F2的坐标分别为(－1，0)和(1，0).设直线l的方程为， 点A，B的坐标分别为和，则满足方程， 即 ① 由于点A，B不重合，且直线l的斜率存在，故是方程①的两个不同实根， 因此有式①的判别式 即 ② 由直线的斜率依次成等差数列知. 又， 所以. 化简并整理得，假如m=k，则