专题15平面解析几何A辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题15平面解析几何A辑 历年联赛真题汇编 1．【2007高中数学联赛（第01试）】设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是，且， 则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1，O2，且离心率分别是和的圆锥曲线.(当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部分，当c=0时，轨迹是两个同心圆). 当且时，圆P的圆心轨迹如选项B； 当时，圆P的圆心轨迹如选项C； 当且时，圆P的圆心轨迹如选项D. 由于选项A．中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因而圆P的圆心轨迹不可能是选项A. 故选A. 2．【2005高中数学联赛（第01试）】方程表示的曲线是( ). A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 【答案】C 【解析】因为，所以， 故，即， 又，所以，故， 方程表示的曲线是椭圆 因为 ① 而，所以， 故，所以. 于是式①小于0.即. 所以曲线表示焦点在y轴上的椭圆. 故选C． 3．【2003高中数学联赛（第01试）】设a，b∈R，ab≠0，那么，直线ax－y+b=0和曲线的图形是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】题设方程可变形为和， 则观察可知应选B． 4．【2003高中数学联赛（第01试）】过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于( ) A． B． C． D． 【答案】.A 【解析】易知此抛物线焦点F与坐标原点重合，故直线AB的方程为， 因此，A，B两点的横坐标满足方程， 由此求得弦AB中点的横坐标，纵坐标， 进而求得其中垂线方程为， 令y=0，得点P的横坐标，即. 故选A. 5．【2002高中数学联赛（第01试）】实数x，y满足(x+5)2+(y－12)2=142，则x2+y2的最小值为( ) A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】解法一是以点C(－5，12)为圆心，半径为14的圆. 设P为圆上任一点，则， 当点C，O，P共线时，等号成立，所以点P到点O的最小值为1， 故选B. 解法二，此时 . 第2题答案图 6．【2002高中数学联赛（第01试）】直线与椭圆相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得△PAB面积等于3，这样的点P共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】设，即点P1在第一象限的椭圆上， 如图，考虑四边形P1AOB面积S，有 . 所以，此时， 因为为定值，所以的最大值为. 因为，所以点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P， 故选B. 另解考虑到椭圆是圆压缩得来，而相应面积按比例得到.所以，我们可以在圆中考虑这个问题. 如果存在点P，题目要求，那么相应圆中三角形面积是， 若点P在AB上，△PAB最大面积， 所以P不能在AB上面.在AB下方，显然可以存在两个点满足题意. 7．【2000高中数学联赛（第01试）】已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设点B在x轴上方，因为△ABC是等边三角形，故可知直线AB的斜率， 又直线过点A(－1，0)，故方程是， 将其代入双曲线方程，得点B的坐标是. 同理，可知点C的坐标是. 故△ABC的面积是. 8．【2000高中数学联赛（第01试）】平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=的距离中的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，不妨设整点为，可知它到直线的距离是， 又因为，有是5的倍数， 所以， 仅当时， 故所求最小值是. 9．【1999高中数学联赛（第01试）】平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，那么，满足不等式的整点(x，y)的个数是( ) A．16 B．17 C．18 D．25 【答案】A 【解析】由可知是(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)或(－1，0). 所以(x，y)的取值共16个. 10．【1997高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得， 这说明(x，y)到定点(0，－1)与到定直线的距离之比为常数， 由椭圆定义得，所以m>5. 引申同一个事物可以从不同的角度看，在解析几何里面，这主要是指对几何