专题13不等式B辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题13不等式B辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设正实数a,b,c满足,求的最小值. 【答案】6 【解析】由题设条件得, 由柯西不等式可得：, 即,故. 又由柯西不等式得 , 所以, 当a=b=c=1时等号成立. 故的最小值是6. 2．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设k、m为实数，不等式对所有x∈[a，b]成立.证明:. 【答案】证明见解析 【解析】令f(x)=x2－kx－m，x∈[a，b]则f(x)∈[－1，1].于是 ① ② ③ 由①+②－2×③知，，故. 3．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设是非负实数，满足，求的最小值和最大值. 【答案】最小值为1；最大值为. 【解析】由柯西不等式 ， 当时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为 . 当时不等式等号成立，故欲求的最大值为. 4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设不等式对所有x∈[1，2]成立，求实数a的取值范围. 【答案】3<a<5. 【解析】设，则t∈[2，4]，于是对所有t∈[2，4]成立. 由于 . 对给定实数a，设f(t)=(2t－a－5)(5－a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数. 注意t∈[2，4]，因此f(t)<0等价于， 解得3<a<5. 所以实数a的取值范围是3<a<5. 5．【2015高中数学联赛（第01试）】若实数a，b，c满足，求c的最小值. 【答案】 【解析】将分别记为x，y，z，则x，y，z>0. 由条件知，故. 因此，结合平均值不等式可得. 当，即时，z的最小值为(此时相应的x值为，符合要求). 由于c=log2z，故c的最小值为. 6．【2013高中数学联赛（第01试）】给定正数数列{xn}满足，这里. 证明：存在常数C>0，使得. 【答案】证明见解析 【解析】当n≥2时，等价于 ① 对常数，用数学归纳法证明 ② n=1时结论显然成立.又， 对n≥3，假设，则由式①知 . 所以，由数学归纳法知，式②成立. 7．【2009高中数学联赛（第01试）】求函数的最大值和最小值. 【答案】y的最小值为；最大值为11. 【解析】函数的定义域为[0，13].因为 ， 当x=0时，等号成立，故y的最小值为， 又由柯西不等式得 ， 所以， 由柯西不等式等号成立的条件，得，解得x=9. 故当x=9时，等号成立.因此y的最大值为11. 8．【2008高中数学联赛（第01试）】解不等式. 【答案】 【解析】解法一由且log2y在(0，+∞)上为增函数， 故原不等式等价于，即， 分组分解 ， 可得， 所以，即， 所以，即， 故原不等式解集为. 解法二由，且log2y在(0，+∞)上为增函数， 故原不等式等价于， 即， 则， 令，则不等式转化为， 显然g(t)=t3+2t在R上为增函数，由此原不等式等价于， 即，解得， 故原不等式解集为. 9．【2003高中数学联赛（第01试）】设，证明不等式. 【答案】证明见解析 【解析】由于 ， 因此(当且仅当a=b=c=d时取等号). 取，则 ， 因为不能同时相等. 所以. 10．【2000高中数学联赛（第01试）】设Sn=1+2+3+…+n，n∈N，求f(n)=的最大值. 【答案】50 【解析】由题意得， ， ， 故f(n)的最大值是50. 11．【1992高中数学联赛（第01试）】求证：. 【答案】证明见解析 【解析】由得. 故，即得. 从而(1≤m≤n，m为自然数) 取n=80，m=1，得， 取n=80，m=2，得， 所以. 12．【1991高中数学联赛（第01试）】已知0<a<1，x2+y=0，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】因，有， 从而. 现有. 故得所证不等式. 13．【1988高中数学联赛（第01试）】已知a，b为正数，且，试证：对每一个n∈. 【答案】证明见解析 【解析】解法一(1)n=1时，左边=0=右边，命题成立. (2)假设n=k时，不等式成立，即有. 于是，当n=k+1时，左边. 所以. 故. 又，故，. 所以，左边右边. 由情形(1)及(2)，对一切n∈N，不等式成立. 解法二由条件，. 所以 . 优质模拟题强化训练 1．设是正实数,满足 .则的最大值是______. 【答案】 【解析】 由已知条件得 则 于是, . 当时,上式等号成立. 故的最大值是. 2．已知xyz+y+z=12，则的最大值为____________ . 【答案】3 【解析】 由已知条件有，， 则， 当且仅当，y=z=4时取得最大值3. 故答案为：3． 3．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 【答案】 【解析】 解法一：设， 可解得