专题12不等式A辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题12不等式A辑 历年联赛真题汇编 1．【2007高中数学联赛（第01试）】设实数a使得不等式对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则有，排除B，D. 由对称性排除C.从而只有A正确. 故选A．. 一般地，对k∈R，令， 则原不等式为， 由此易知原不等式等价于， 对任意的k∈R成立. 由于， 所以， 从而上述不等式等价于. 2．【2005高中数学联赛（第01试）】使关于x的不等式有解的实数k的最大值是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则， 所以，当时，， 故y的最大值为，所以实数k的最大值为. 故选：D. 3．【2004高中数学联赛（第01试）】不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原不等式等价于， 设，则有， 解得，即，所以. 故选：C. 4．【2003高中数学联赛（第01试）】已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得, 故， 而， 故当，即时，的值最小，而此时函数u有最小值， 故选：D. 5．【2001高中数学联赛（第01试）】已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是( ) A．2枝玫瑰价格高 B．3枝康乃馨价格高 C．价格相同 D．不确定 【答案】A 【解析】由题意得， 令，联立解得， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：A. 6．【1986高中数学联赛（第01试）】设实数a，b，c满足，那么a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 所以，即. 所以1≤a≤9.故选：D. 7．【1986高中数学联赛（第01试）】边长为a，b，c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若，则s与t的大小关系是( ). A．s>t B．s=t C．s<t D．不确定 【答案】C 【解析】因为，又，所以. 于是 . 且其中取不到等号，否则是不可能的，故答案为C． 8．【1984高中数学联赛（第01试）】下列四个图的阴影部分(不包括边界)满足不等式的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式判断它所表示的区域. 当x>1时，可得, 当0<x<1时，可得. 然后与抛物线y2=x比较即可 9．【1983高中数学联赛（第01试）】设a，b，c，d，m，n都是正实数，，Q=，那么( ) A． B． C． D．P，Q间的大小关系不确定，而与m，n的大小有关 【答案】B 【解析】因为a，b，c，d，m，n是正实数，所以 . 10．【1982高中数学联赛（第01试）】当a，b是两个不相等的正数时，下列三个代数式：甲：，乙：，丙中，值最大的一个( ) A．必定是甲 B．必定是乙 C．必定是丙 D．一般并不确定，而与a，b的取值有关 【答案】D 【解析】(i)甲，乙， 由题设易得，必定有甲>乙. (ii)当a=1，b=时，经计算可知，甲>丙；而当a=2，b=3时，则有甲<丙，说明甲和丙的值的大小与a，b取值有关. 11．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】若正整数a、b、c满足2017≥10a≥100b≥1000c，则数组(a，b，c)的个数为 . 【答案】574 【解析】由条件知. 当c=1时，有10≤b≤20.对于每个这样的正整数b，由10b≤a≤201知，相应的a的个数为202－10b. 从而这样的正整数组的个数为. 当c=2时，由，知b=20.进而201， 故a=200，201.此时共有两组(a，b，c) 综上所述，满足条件的正整数组的个数为572+2=574. 12．【2016高中数学联赛（第01试）】设实数a满足，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由a<|a|可得a<0，原不等式可变形为， 即，所以. 又a<0，故. 13．【2013高中数学联赛（第01试）】设a，b为实数，函数f(x)=ax+b满足：对任意x∈[0，1]，有.则ab的最大值为 . 【答案】 【解析】易知， 则. 当，即时故ab的最大值为. 14．【2012高中数学联赛（第01试）】设x，y，z∈[0，1]，则的最大值是 . 【答案】 【解析】不妨设，则， 因为， 所以. 当且仅当即时，上式等号同时成立. 故. 15．【2011高中数学联赛（第01试）】设a，b为正实数，，(a－b)2=4(ab)3，则 . 【答案】 【解析】由得， 又， 即 ① 于是 ② 再由不等式①中等号成立的条件，得， 与式