专题11数列C辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题11数列C辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设数列的通项公式为,.证明:存在无穷多个正整数m,使得是完全平方数. 【答案】证明见解析 【解析】记,则, 于是. 所以.又注意到. 有 , , 由此易知,数列的每一项都是正整数. 由计算易得, 故. ， 所以,对任意正整数n,都是完全平方数.于是对于正奇数m, 均为完全平方数. 2．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】已知实数列满足:对任意正整数n，有，其中Sn表示数列的前n项和证明: (1)对任意正整数n，有； (2)对任意正整数n，有. 【答案】证明见解析 【解析】(1)约定S0=0.由条件知，对任意正整数n，有， 从而，即(当n=0时亦成立). 显然，. (2)仅需考虑同号的情况.不失一般性，可设均为正(否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件)，则， 故必有，此时， 从而. 3．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知数列.求满足的最小正整数n. 【答案】12 【解析】由可知. 因此，故. 显然{an}单调递增. 由于， 故满足题目条件的n的最小值是12. 4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{an}是等差数列，数列bn}满足. (1)证明:数列{bn}也是等差数列； (2)设数列的公差均是d≠0，并且存在正整数s、t，使得是整数，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】(1)设等差数列{an}的公差是d，则 . 所以数列{bn}也是等差数列. (2)由已知条件及(1)的结果知3d2=d.因为d≠0，故. 这样. 若正整数s、t满足， 则. 记，则l∈Z，且是一个非零的整数，故，从而. 又当时，有. 综上所述，的最小值为. 5．【2015高中数学联赛（第01试）】设是4个有理数，使得成立.求的值. 【答案】 【解析】由条件可知，是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，a1，a2，a3，a4的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别是及，最大与次大的两个数分别是及， 从而必须有，于是. 故结合a1∈Q，只可能. 由此易知或者. 经检验知这两组解均满足问题的条件. 故. 6．【2014高中数学联赛（第01试）】数列{an}满足，求正整数m，使得. 【答案】3333 【解析】由已知条件可知，对任意正整数n，an+1∈，且 ① 由于，故， 由式①得，故， 即， 因此 (利用式①) ， 由得m=3333. 7．【2012高中数学联赛（第01试）】已知数列{an}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有， (1)当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列； (2)是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】(1)当n=1时，由a1≠0，得a1=1. 当n=2时，由a2≠0，得a2=2或a2=－1. 当n=3时， 若a2=2，得a3=3或a3=－2；若a2=－1，得. 综上，满足条件的三项数列有3个：1，2，3或1，2，－2或1，－1，1. (2)令，则， 从而， 两式相减，结合，得. 当n=1时，由情形(1)知a1=1； 当n≥2时，， 即， 所以或. 又， 所以存在如下形式满足条件. 8．【2011高中数学联赛（第01试）】已知数列满足：a1=2t－3(t∈R且t≠±1)，. (1)求数列的通项公式； (2)若t>0，试比较与的大小. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】(1)由原式变形得， 则， 记，则，. 又，. 从而有，故， 于是有. (2)由题意知 ， 显然在t>0(t≠1)时恒有，故. 9．【2010高中数学联赛（第01试）】证明：方程2x3+5x－2=0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得. 【答案】证明见解析 【解析】令，则， 所以f(x)是严格递增的. 又，故f(x)有唯一实数根. 所以，， 故是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列和， 满足， 去掉上面等式两边相同的项，有， 这里，， 所有的与都是不同的. 不妨设，则 ，矛盾. 故满足题设的数列是唯一的. 10．【2009高中数学联赛（第01试）】已知p，q(q≠0)是实数，方程x2－px+q=0有两个实根，数列{an}满足，，. (1)求数列{an}的通项公式(用表示)； (2)若，求{an}的前n项和. 【答案】(1)；(2) . 【解析】解法一(1)由韦达定理知，又，所以 ， 整理得， 令，则， 所以{bn}是公比为的等比数列， 数列{bn}的首项为， 所以，即， 所以， 当时