专题10数列B辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题10数列B辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在等比数列中,,则的值为 . 【答案】 【解析】由等比数列的性质知,.所以. 2．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1=2019，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得.这样的数列{an}的个数为 . 【答案】5 【解析】设{an}的公差为d.由条件知(k是某个正整数)，则， 即(k－2)d=a1，因此必有k≠2，且. 这样就有， 而此时对任意正整数n， ， 确实为{an}中的一项. 因此，仅需考虑使成立的正整数k的个数.注意到2019为两个素数3与673之积，易知k－2可取－1，1，3，673，2019这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列. 3．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为 . 【答案】80 【解析】设，则有 ① ② 用t表示中值为2的项数.由②知，t也是中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}. 因此的取法数为. 取定后，任意指定的值，有种方式. 最后由①知，应取使得为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列唯一对应一个满足条件的数列. 综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80. 4．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，=(3，1)是l的一个法向量.已知数列{an}满足:对任意正整数n，点均在l上.若a2=6，则的值为 . 【答案】 【解析】易知直线l的方程是3x+y=0.因此对任意正整数n，有，即，故{an}是以为公比的等比数列 于是. 由等比数列的性质可得. 5．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设两个严格递增的正整数数列满足:，对任意正整数n，有，则的所有可能值为 . 【答案】13、20 【解析】由条件可知:均为正整数，且. 由于，故b1∈{1，2，3}. 反复运用{an}的递推关系知 ， 因此， 而13×21=34×8+1，故有 ① 另一方面，注意到，有，故 ② 当b1=1时，①、②分别化为，无解 当b1=2时，①、②分别化为，得到唯一的正整数a1=18，此时. 当b1=3时，①、②分别化为，得到唯一的正整数a1=10，此时. 综上所述，的所有可能值为13、20. 6．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在等比数列{an}中，，则的值为 . 【答案】 【解析】数列{an}的公比为，故. 7．【2016高中数学联赛（第01试）】设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足，则这样的有序数组的个数为 . 【答案】40 【解析】由柯西不等式知，， 等号成立的充分必要条件是，即成等比数列. 于是问题等价于计算满足的等比数列的个数. 设等比数列的公比q≠1，且q为有理数.记，其中m、n为互素的正整数，且m≠n. 先考虑n>m的情况： 此时，注意到m3与n3互素，故为正整数. 相应地，分别等于，，它们均为正整数. 这表明，对任意给定的，满足条件并以q为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数l的个数，即. 由于53>100，故仅需考虑，这些情况， 相应的等比数列的个数为 . 当n<m时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列，综上可知，共有40个满足条件的有序数组. 8．【2014高中数学联赛（第01试）】数列{an}满足a1=2，，则 . 【答案】 【解析】由题设 ， 记数列{an}的前n项和为Sn，则， 所以，将上面两式相减， 得， 故. 9．【2013高中数学联赛（第01试）】已知数列{an}共有9项，其中，且对每个，均有，则这样的数列的个数为 . 【答案】491 【解析】令，则对每个符合条件的数列{an}，有， ① 反之，由符合条件①的8项数列{bn}可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{an}. 记符合条件①的数列{bn}的个数为N.显然bi(1≤i≤8)中有偶数个，即2k个；继而有2k个2，8－4k个1.当给定k时，{bn}的取法有种， 易知k的可能值只有0，1，2，所以. 因此，根据对应原理，符合条件的数列{an}的个数为491. 10．【2011高中数学联赛（第01试）】已知，则数列中整数项的个数为 . 【答案】15 【解析】由题意知， 要使an(1≤n≤95)为整数，必有均为整数，从而. 当n=2，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68，74，80时，和均为非负整数，所以an为整数，共有14个. 当n=86时，， 在中，200!中因数2的个数为， 同理可计算得86!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为