专题09数列A辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题09数列A辑 历年联赛真题汇编 1．【2006高中数学联赛（第01试）】数码中有奇数个9的2007位十进制数的个数为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】出现奇数个9的十进制数个数有， 又由于以及， 从而得 . 故选B. 2．【2003高中数学联赛（第01试）】删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是( ) A．2046 B．2047 C．2048 D．2049 【答案】C 【解析】解法一注意到，所以， 而且从第1981项到2070项之间的90项中没有完全平方数. 又，所以. 故选C. 解法二将所得新数列按照第k组含有2k个数的规则分组：， 设新数列的第2003项位于第n组，则有， 即，得， 故新数列的第2003项为. 3．【1999高中数学联赛（第01试）】给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设，，，则数列{bn}( ) A．是等差数列 B．是公比为q的等比数列 C．是公比为q3的等比数列 D．既非等差数列也非等比数列 【答案】C 【解析】由题意有. 所以{bn}是公比为q3的等比数列. 4．【1998高中数学联赛（第01试）】各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn，若，则S40等于( ) A．150 B． C．150或－200 D．400或－50 【答案】A 【解析】记，， 设q为{an}的公比，则构成以为公比的等比数列. 于是， 所以，则r=2(因为，所以r=－3应舍去). 故. 5．【1998高中数学联赛（第01试）】设命题P：关于x的不等式与的解集相同；命题.则命题Q( ) A．是命题P的充分必要条件 B．是命题P的充分条件但不是必要条件 C．是命题P的必要条件但不是充分条件 D．既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 【答案】D 【解析】例如与的解集不同，从而排除A，B； 又如与解集相同，从而排除C． 6．【1997高中数学联赛（第01试）】已知数列{xn}满足(n≥2)，x1=a，x2=b，记，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】经计算知数列{xn}的前几项是a，b，b－a，, 由此看出即{xn}是周期为6的数列.所以. 又 . 所以. 7．【1997高中数学联赛（第01试）】设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个 【答案】C 【解析】设等差数列的首项为a，公差为d，则依题意有， 即 ① 即n为不小于3的自然数，97为素数，数n的值只可能为四者之一. 若d>0，则由式①知， 故只可能有n=97，式①化为，这时式①有两组解： 或. 若d=0，则式①化为，这时式①有两组解： 或. 故符合题设条件的等差数列共有4个. 8．【1996高中数学联赛（第01试）】等比数列{an}的首项a1=1536，公比是.用表示它的前n项之积，则(n∈N)最大的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】等比数列{an}的通项公式，前n项的积. 易见为正数，为负数，故只要比较. 首先考虑正负情况，显然为正数. 而，， ，， 且. 那么. 所以. 又，则. 9．【1995高中数学联赛（第01试）】设等差数列{an}满足，且为其前n项之和，则Sn(n∈N)中最大的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该等差数列的公差为d，则由得， 即，于是知. 而，所以该等差数列的前20项和最大， 故选C．. 10．【1994高中数学联赛（第01试）】已知数列{an}满足，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式的最小整数n是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由，知数列是首项为8，公比为的等比数列. 因此. 所以，即， 所以，.从而. 不难验证，当n=7时满足要求，故选C． 11．【1985高中数学联赛（第01试）】设0<a<1，若，则数列{xn}( ) A．是递增的 B．是递减的 C．奇数项是递增的，偶数项是递减的 D．偶数项是递增的，奇数项是递减的 【答案】C 【解析】首先考察数列的前三项， 因为，所以，，即. 此已表明数列既非递增又非递减，且奇数项也不是递减的 优质模拟题强化训练 1．已知等差数列{an}的公差d≠0，且，则{an}的前15项之和S15等于（ ） A．15 B．16 C．30 D．32 【答案】A 【解析】 因为等差数列{an}的公差d≠0，由， 所以，进而，因此. 所以有. 故选：A. 2．设等差数列满足且，为其前项之和，则中最大的