专题07三角函数与解三角形C辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题07三角函数与解三角形C辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在中,.求的取值范围. 【答案】 【解析】记. 由条件知或. 当时,,其中, 此时. 当时,,其中, 此时, 其中. 注意到,函数在上单调增,在上单调减, 又,，故. 综上所述,的取值范围是. 2．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.若b是a与c的等比中项，且sinA是sin(B－A)与sinC的等差中项，求cosB的值. 【答案】 【解析】因b是a、c的等比中项，故存在q>0，满足. 因sinA是sin(B－A)，sinC的等差中项，故 . 结合正、余弦定理，得，即. 将①代入并化简，可知，即，所以. 进而. 3．【2012高中数学联赛（第01试）】已知函数，a∈R且a≠0. (1)若对任意x∈R，都有f(x)≤0，求a的取值范围； (2)若a≥2，且存在x∈R，使得f(x)≤0，求a的取值范围. 【答案】(1) (0，1]；(2) [2，3]. 【解析】(1)， 令，则， 对任意x∈R，f(x)≤0恒成立的充要条件是， 解得a的取值范围为(0，1] (2)因为a≥2，所以.所以，因此. 于是，存在x∈R，使得f(x)≤0的充要条件是，解得. 故a的取值范围是[2，3] 4．【2008高中数学联赛（第01试）】已知函数f(x)=sinxl的图像与直线y=kx(k>0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】f(x)的图像与直线y=kx(k>0)的三个交点如图所示，且在内相切，其切点为. 由于，所以， 即， 因此 . 5．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足 (1)对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有； (2)对任意的实数x，有. 【答案】证明见解析 【解析】记，， 则，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数， 对任意的x∈R，有，， 令，， ，， 其中k为任意整数. 容易验证fi(x)(i=1，2，3，4)是偶函数，且对任意的x∈R，有, 下证对任意的x∈R，有, 当时，显然成立； 当时，因为, 而 , 故对任意的x∈R，有, 下证对任意的x∈R，有， 当时，显然成立； 当时，有， 所以， 而此时，故. 当时，有 ， 故， 又，从而有， 于是，对于任意的x∈R，我们有. 综上所述，结论得证. 6．【1999高中数学联赛（第01试）】已知当x∈[0，1]，不等式恒成立，试求的取值范围. 【答案】. 【解析】若对一切x∈[0，1]，恒有， 则 ① 取，有， 因为， 所以， 即 ② 反之，当式①与②成立时， 且x∈(0，1)时， 先在[0，2π]中解式①与②：由可得， 又， 所以，所以，. 又因为，所以，所以. 因此，θ的取值范围是. 7．【1997高中数学联赛（第01试）】设，且，求乘积的最大值和最小值. 【答案】最小值为；最大值为. 【解析】由已知条件得，. 于是 ， 且当时，等号成立 所以的最小值为. 又 . 且当时，等号成立. 所以的最大值为. 优质模拟题强化训练 1．已知函数的最大值为2. ⑴求的值及的最小正周期； ⑵求的单调递减区间. 【答案】（1），（2）. 【解析】 ⑴ 因此，当时，取得最大值. 又因为的最大值为2，所以，即.的最小正周期为. ⑵由⑴得，令，. 得，. 因此，的单调递减区间为，. 2．如图，在△ABC中，0为边BC的中点，点M、N分别在边AB、AC上，且AM=6，MB =4，AN=4，NC=3，∠MON=，求∠A的大小． 【答案】 【解析】 如图 ，延长NO至点 P，使OP=ON．联结 BP、MP. 由BO=OC，知BP∥AC，BP=CN=3． 因点 M在 NP的垂直平分线上 ， 所以，MP =MN. 令MN=．则在△AMN和△ MBP中， 由余弦定理得 . 消去 得. 3．在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.若b是a与c的等比中项，且sinA是sin(B－A)与sinC的等差中项，求cosB的值. 【答案】 【解析】 因b是a、c的等比中项，故存在q>0，满足.① 因sinA是sin(B－A)，sinC的等差中项，故 . 结合正、余弦定理，得，即. 将①代入并化简，可知，即，所以. 进而. 【点睛】 本题考查等差中项、等比中项的应用，涉及正余弦定理，属综合中档题. 4．已知函数 (1)求的最小正周期和单调递减区间; (2)若在上恒成立,求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 (1)