专题06三角函数与解三角形B辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题06三角函数与解三角形B辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在中,,边AC上的中线长为,则的值为 . 【答案】 【解析】记M为AC的中点,由中线长公式得, 可得. 由余弦定理得,所以 . 2．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在三角形ABC中,BC=4,CA=5,AB=6,则 . 【答案】 【解析】由余弦定理得,所以 . 3．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】对任意闭区间I，用表示函数在I上的最大值.若正数a满足，则a的值为 . 【答案】或. 【解析】假如，则由正弦函数图象性质得， 与条件不符. 因此，此时，故. 于是存在非负整数k，使得 ① 且①中两处“≤”至少有一处取到等号. 当k=0时，得或.经检验，或均满足条件. 当k≥1时，由于，故不存在满足①的a. 综上，a的值为或. 4．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设是方程5x2－3x－1=0的两根，则的值为 . 【答案】 【解析】由条件知，从而 . 又由知，从而. 5．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设满足，则的值为 . 【答案】 【解析】由两角差的正切公式可知， 即，从而. 6．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若，△ABC的面积为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由条件知，， 故. 由于， 所以，进一步可得. 从而 . 当时，的最小值为. 7．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在△ABC中，若，且三条边a、b、c成等比数列，则的值为 . 【答案】 【解析】由正弦定理知，，又，于是a:b:c=，从而由余弦定理得，. 8．【2016高中数学联赛（第01试）】设函数，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为 . 【答案】16 【解析】由条件知， ， 其中当且仅当时，f(x)取到最大值. 根据条件知，任意一个长为1的开区间(a，a+1)至少包含一个最大值点， 从而，即k>5π. 反之，当k>5π时，任意一个开区间(a，a+1)均包含f(x)的一个完整周期， 此时成立. 综上可知，正整数k的最小值为. 9．【2015高中数学联赛（第01试）】若实数满足，则的值为 . 【答案】2 【解析】由条件知，反复利用此结论，并注意到， 得. 10．【2015高中数学联赛（第01试）】设为正实数，若存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由知，而， 故题目条件等价于：存在整数k，l(k<l)，使得 ① 当≥4时，区间的长度不小于，故必存在k，l满足式①. 当时，注意到，故仅需考虑如下几种情况： (i)，此时且，无解； (ii)，此时有； (iii)，此时有，得. 综合情形(i)，(ii)，(iii)，并注意到亦满足条件，可知. 11．【2013高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，已知sinA=10sinB·sinc，cosA=100cosBcosC，则tanA的值为 . 【答案】11 【解析】由于， 所以，故tanA=11. 12．【2012高中数学联赛（第01试）】设△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足acosB－，则的值是 . 【答案】4 【解析】解法一由题设及余弦定理，得， 即， 故. 解法二如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则， 由题设得，又，联立解得. 故. 解法三由射影定理，得， 又，联立解得. 故. 13．【2012高中数学联赛（第01试）】满足的所有正整数n的和是 . 【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性有，当时， 由此得，，，， 所以， 故满足的正整数n的所有值分别为10，11，12，它们的和为33. 14．【2011高中数学联赛（第01试）】如果，，那么的取值范围是 . 【答案】 【解析】不等式等价于， 又是(－∞，+∞)上的增函数，所以. 故. 因为，所以θ的取值范围是 15．【2010高中数学联赛（第01试）】已知函数的最小值为－3，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】令sinx=t，则原函数化为，即， 由，即，， 及知， 即 ① 当t=0，－1时，式①总成立. 对0<t≤1，有， 对－1<t<0，有， 从而可知. 16．【2008高中数学联赛（第01试）】设f(x)=cos2x－2a(1+cosx)的最小值为，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 若a>2，当cosx=1时，f(x)取最小值1－4a； 若a<－2，当cosx=－1时，f(x)取最小值1； 若－2≤a≤2，当时f(x)取最小值. 又因为a>2或a<－2时，f(x)的最小值不能为，故， 解得(舍去). 17．【2