专题05三角函数与解三角形A辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题05三角函数与解三角形A辑 历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设a，b，c的公比为q，则， 而 ， 因此，只需求q的取值范围，因为a，b，c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a，b，c要构成三角形的三边，必须且只需且， 即有不等式组， 即，解得， 从而. 因此所求的取值范围是. 故选C． 2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a，b，c使得af(x)+bf(x－c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则对任意的x∈R，都有， 于是取，则对任意的x∈R，有， 由此得. 故选C． 更一般地，由题设可得，， 其中，且， 于是可化为， 即. 所以. 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有. 若b=0，则由式①知a=0，显然不满足式③.故b≠0. 所以，由式②知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ. 当c=2kπ时，cosC=1，则式①，③矛盾.故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=－1. 由式①，③知，所以. 3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定 【答案】C 【解析】令∠ABC=α，过A作AD⊥BC于D. 由推出， 令，代入上式，得， 即，也即， 从而有，由此可得. 故选：C. 4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC内接于单位圆，三个内角A，B，C的平分线延长后分别交此圆于A1，B1，C1.则的值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】如图，联结BA1，则， 所以 同理，， 所以， 于是，原式. 故选：A. 注本题也可以用“特殊值”法，当△ABC是正三角形时，易知所求的值为2. 5．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x的方程有重根，则θ的弧度数为( ) A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】因方程有重根，故. 因为，所以. 得，所以或， 于是或. 故选：B. 6．【2003高中数学联赛（第01试）】若，则的最大值是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得 ， 因为，所以，， 可见与在上同为递增函数. 故当时，y取最大值. 故选：C. 7．【2001高中数学联赛（第01试）】在四个函数，，，中以为周期，在上单调递增的偶函数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可考虑用排除法. 不是周期函数(可通过作图判断)，排除A； 的最小正周期为，且在上是减函数，排除B； 在上是减函数，排除C. 故选：D. 8．【2001高中数学联赛（第01试）】如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是( ) A． B． C．k≥12 D．0<k≤12或k=8 【答案】D 【解析】根据题设，△ABC共有两类，如图，可求得或0<k≤12，应选结论D. 9．【2000高中数学联赛（第01试）】设，且，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】(1)由知a终边在第二象限； (2)由知终边在第一、三象限的角平分线的上方. 选项A显然不符合条件(2)，选项B取k=0时亦知不符合条件(2)， 选项C与选项D有相同部分，只需检验选项D中的前部分，显然符合条件(2)， 又将其乘以3，也在第二象限，符合条件(1). 故选：D. 10．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点A(1，2)，过点(5，－2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么，△ABC是( ). A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定 【答案】C 【解析】设. 则直线BC的方程为，化简，有， 又因为直线BC过点(5，－2)，故， 即， 所以， 所以∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形. 11．【1997高中数学联赛（第01试）】设，，，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，f(x)的图像关于直线对称，且在单调减少，在单调增加. 所以，当时，有， 又易知， 所以. 故有. 12．【1996高中数学联赛（第01试）】设，以下三个数：，，的大小关系是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一因为是选择题，我们可以用特殊值法来解决这个问题.设， 计算题中几个算式的值：