专题04函数C辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题04函数C辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】对正整数及实数,定义, 其中表示不超过实数的最大整数,. 若整数满足, 求的值. 【答案】74 【解析】对,有 . 所以, . 同理得. 由条件知,即,故. 又,所以, 仅当时,为124的约数,进而有. 进而. 2．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设a、b、c均大于1，满足，求的最大值. 【答案】 【解析】设lga=x，lgb=y，lgc=z，由a，b，>1可知x，y，z>0. 由条件及换底公式知，即. 由此，令x=3t，y=4t(t>0)，则. 其中由z>0可知t∈(0，1). 因此，结合三元平均值不等式得 . 当t=2－2t，即(相应的a、b、c分别为)时，取到最大值. 3．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】已知定义在R*上的函数，设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc的取值范围. 【答案】(81，144) 【解析】不妨假设a<b<c.由于f(x)在(0，3]上严格递减，在[3，9]上严格递增，在[9，+∞)上严格递减，且f(3)=0，f(9)=1， 故结合图象可知， 并且f(a)=f(b)=f(c)∈(0，1). 由f(a)=f(b)得， 取，因此ab=32=9.于是abc=9c. 又，故c∈(9，16).进而abc=9c∈(81，144). 所以，abc的取值范围是(81，144). 4．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知定义在R*上的函数f(x)为，设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc的取值范围. 【答案】(81，144). 【解析】不妨设a<b<c.由于f(x)在(0，3]严格递减，在[3，9]上严格递增，在[9，+∞)上严格递减，且f(3)=0，f(9)=1，故结合图象可知， 并且f(a)=f(b)=f(c)∈(0，1). 由f(a)=f(b)得，即， 因此ab=32=9.于是abc=9c. 又，故c∈(9，16).进而abc=9c∈(81，144). 所以，abc的取值范围是(81，144). 5．【2016高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是R上的奇函数，f(1)=1，且对任意x<0，均有. 求的值. 【答案】 【解析】设(n=1，2，3…)，则. 在中取， 注意到，及f(x)为奇函数，可知， 即，从而. 因此 . 6．【2013高中数学联赛（第01试）】求所有的正实数对(a，b)，使得函数f(x)=ax2+b满足：对任意实数x，y，有. 【答案】答案见解析 【解析】已知条件可转化为：对任意实数x，y， 有 ① 先寻找a，b所满足的必要条件. 在式①中令y=0，得， 即对任意实数x，有. 由于a>0，故ax2可取到任意大的正值，因此必有1－b≥0，即0<b≤1. 在式①中再令y=－x，得， 即对任意实数x，有 ② 将式②的左边记为g(x).显然a－a2≠0(否则，由a>0可知a=1，此时g(x)=－2bx2+(2b－b2)，其中b>0，故g(x)可取到负值，矛盾)， 于是 对一切实数x成立， 从而必有，即. 进一步，考虑到此时，再根据可得， 至此，求得a，b满足的必要条件如下 ③ 下面证明，对满足式③的任意实数对(a，b)以及任意实数x，y，总有式①成立，即 ， 对任意x，y取非负值. 事实上，在式③成立时，有，，， 再结合可得 . 综上所述，所求的正实数对(a，b)全体为. 7．【2011高中数学联赛（第01试）】设函数，实数a，b(a<b)满足，，求a，b的值. 【答案】 【解析】因为，所以， . 所以或， 又因为a<b，所以，所以. 又由有意义知， 从而，于是. 所以. 从而. 又，所以， 故，解得或b=－1(舍去). 把代入，解得. 所以. 8．【2010高中数学联赛（第01试）】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，当0≤x≤1时，，试求a的最大值. 【答案】 【解析】解法一由题意知， 由得， 所以， 所以， 又易知(m为常数)满足题设条件，所以a的最大值为. 解法二由题意知，设， 则当时， 设，则， ， 容易知道当时， 从而，当时，， 即， 从而，， 由知， 又易知(m为常数)满足题设条件，所以a的最大值为. 9．【2006高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x2+a.记，，. 证明：. 【答案】证明见解析 【解析】证明(1)如果，则. (2)如果，由题意，， 那么有： (i)当时，， 事实上，当n=1时，， 设n=k－1时成立(k≥2为某整数)，则对n=k，有. (ii)当时，， 事实上，当n=1时，设n=k－1时成立(k