专题03函数B辑（解析版）-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题03函数B辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设,函数在区间上的最小值为,在区间上的最小值为.若,则的值为 . 【答案】1或100 【解析】注意到在上单调减,在上单调增. 当时,; 当时,. 因此总有, 即,解得或. 2．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设,满足:关于x的方程恰有三个不同的实数解,且,则的值为 . 【答案】144 【解析】令,则关于的方程恰有三个不同的实数解. 由偶函数,故方程的三个实数解关于数轴原点对称分布,从而必有以下求方程的实数解. 当时,,等号成立当且仅当; 当时,单调增,且当时, 当时,单调减,且当时. 从而方程恰有三个实数解. 由条件知,结合得. 于是. 3．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】若实数x满足,则 . 【答案】128 【解析】由条件知, 解得,故. 4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】已知首项系数为1的五次多项式满足:,则的一次项系数为 . 【答案】282 【解析】令,则也是一个首项系数为1的五次多项式,且 故有5个实数根,所以,于是, 所以的一次项系数等于. 5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】已知正实数a满足，则的值为 . 【答案】 【解析】由条件知，故，所以. 6．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=2，则不等式组的解集为 . 【答案】 【解析】由f(x)为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f(x)在[－1，0]上严格递增，再结合f(x)以2为周期可知，[1，2]是f(x)的严格递增区间 注意到， 所以， 而，故原不等式组成立当且仅当. 7．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[1，2]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为 . 【答案】 【解析】由f(x)为偶函数及在[1，2]上严格递减知，f(x)在[－2，－1]上严格递增，再结合f(x)以2为周期可知，[0，1]是f(x)的严格递增区间. 注意到， 所以， 而，故原不等式组成立且当仅当. 8．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有.又当0≤x<7时，，则f(－100)的值为 . 【答案】 【解析】由条件知，， 所以. 9．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】若实数x、y满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于，故. 由可知，. 因此当x=－1时，x－cosy有最小值1(这时y可以取)； 当时，x－cosy有最大值(这时y可以取π). 由于的值域是， 从而x－cosy的取值范围是. 10．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶函数，则f(1)的值为 . 【答案】 【解析】由条件知，，， 两式相加消去f(－1)，可得，即. 11．【2016高中数学联赛（第01试）】正实数均不等于1，若，则的值为 . 【答案】 【解析】令，则， 条件化为，由此可得. 因此. 12．【2015高中数学联赛（第01试）】设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)=x2+ax+b满足，则f(2)的值为 . 【答案】4 【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得，即，所以. 13．【2014高中数学联赛（第01试）】若正数a，b满足2+1og2a=3+log3b=log6(a+b)，则的值为 . 【答案】108 【解析】设，则， 从而. 14．【2014高中数学联赛（第01试）】若函数在[0，+∞]上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】在[1，+∞)上，f(x)=x2+ax－a单调递增，等价于，即a≥－2. 在[0，1]上，f(x)=x2－ax+a单调递增，等价于，即a≤0. 因此实数a的取值范围是[－2，0]. 15．【2012高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设知，则， 因此原不等式等价于， 因为f(x)在R上是增函数，所以，即. 又x∈[a，a+2]，所以当x=a+2时，取得最大值为. 因此，解得. 故a的取值范围是. 16．【2011高中数学联赛（第01试）】函数的值域为 . 【答案】 【解析】设，且， 则， 设，则且. 所以. 17．【2010高中数学联赛（第01试）】函数的值域是 . 【答案】 【解析】易