专题02函数A辑-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题02函数A辑 历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】函数在(－∞，2)上的最小值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】当x<2时，因此， 当且仅当时取得等号.而此方程有解x=1∈(－∞，2)， 因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2.故选C． 2．【2006高中数学联赛（第01试）】设，则x的取值范围为( ) A． B．且x≠1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，解得， 由，所以， 则，解得或， 解得x>1. 所以x的取值范围为且x≠1. 故选B． 3．【2006高中数学联赛（第01试）】设，则对任意实数a，b，a+b≥0是的( ) A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】显然为奇函数，且单调递增. 于是，若，则， 有，即， 从而有. 反之，若，则， 推出，即. 故选A． 4．【2002高中数学联赛（第01试）】函数的单调递增区间是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由有x<－1或x>3. 故函数的定义域为x<－1或x>3. 又因为在(－∞，－1)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增.而在(0，+∞)上单调递减，所以在(－∞，－1)单调递增， 故选A. 5．【2002高中数学联赛（第01试）】函数( ) A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．既是偶函数又是奇函数 D．既不是偶函数也不是奇函数 【答案】A 【解析】函数f(x)的定义域是， 当x≠0时，因为 . 所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数， 故选A. 6．【2000高中数学联赛（第01试）】给定正数p，q，a，b，c其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2－( ) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个同号相异实根 D．有两个异号实根 【答案】A 【解析】解法一由各选择支确定且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2，4，等差数列1，2，3，4，符合题设，则方程是， 有. 故选：A. 解法二依题意，设等差数列p，b，c，q的公差为d≠0，， 由可得， 故选：A. 7．【1999高中数学联赛（第01试）】若，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记，则f(t)在R上是严格增函数. 原不等式即，故，即. 引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散性”的常识：如果有两个整数a，b，a<b，则a≤b－1.别小看这么简单的性质，它的作用可不小.以下一道难题的解决就很需要它： 设a，b，c，d是自然数，满足，证明. 值得一提的是，很多困难的数论和组合问题的解决利用的恰恰是一些很简单的性质. 8．【1998高中数学联赛（第01试）】若a>1，b>1且1g(a+b)=lga+lgb，则1g(a－1)+1g(b－1)的值( ) A．等于lg2 B．等于1 C．等于0 D．不是与a，b无关的常数 【答案】C 【解析】因为， 所以，即， 因此. 9．【1996高中数学联赛（第01试）】如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2+px+q与在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】函数f(x)在上取到最小值，而， 等号取到当时，即， 则有，，解得. 由于，那么f(x)在区间[1，2]的最大值在x=2处取到， 即. 10．【1995高中数学联赛（第01试）】已知方程在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( ) A． B． C． D．以上都不是. 【答案】B 【解析】显然k≥0，而k=0导出.原方程只有一根，故k>0. 又由知，抛物线与直线在区间(2n－1，2n+1)上有两个不同交点， 所以，当x=2n－1时，有， 而当x=2n+1时，有. 从而，即. 故选B. 11．【1993高中数学联赛（第01试）】已知(a，b为实数)且，则的值是( ) A． B． C． D．随a，b取不同值而取不同值 【答案】C 【解析】因为f(x)－4是奇函数，故，即. 而，所以. 12．【1992高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：f(10+x)=f(10－x)，f(20－x)=－f(20+x).则f(x)是( ) A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 【答案】C 【解析】由所给第