专题01集合-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题01集合 历年联赛真题汇编 1．【2008高中数学联赛（第01试）】设A=[－2，4)，B={x|x2－ax－4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为有两个实根， 故等价于x1≥－2且x2<4， 即且， 解之得，故选D． 2．【2007高中数学联赛（第01试）】已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集.若n∈A时，总有2n+2∈B，则集合AUB的元素个数最多为( ) A．62 B．66 C．68 D．74 【答案】B 【解析】先证，只需证， 为此只需证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集， 则必存在n∈A，使得，证明如下： 将{1，2，…，49}分成如下33个集合： {1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个； {2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个； {25}，{27}，{29}，…，{49}共13个； {26}，{34}，{42}，{46}共4个 由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得， 如取，， 则A，B满足题设且. 故选B. 3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知集合A={x|5x－a≤0}，B={x|6x－b>0}，a，b∈N，且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为( ) A.20 B.25 C.30 D.42 【答案】C 【解析】由得， 由得， 要使，则，即. 所以数对(a，b)共有个. 故选C. 4．【2005高中数学联赛（第01试）】记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74， 得 ， M'中的最大数为， 在十进制数中，从2400起，从大到小顺序排列的第2005个数是，而， 将此数除以74，便得M中的数是. 故选：C. 5．【2004高中数学联赛（第01试）】已知，N={(x，y)|y=mx+b}.若对所有m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由相当于点(0，b)在椭圆上或它的内部. 所以，所以. 故选A. 6．【2002高中数学联赛（第01试）】知两个实数集合与，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设，将A中元素按顺序分为非空的50组. 定义映射f：A→B，使第i组的元素在f之下的象都是bi(i=1，2，…，50). 易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射的个数与A按号码顺序分为50组的分法数相等. 而对A的分割等价于从A中前99个元素选择49个元素依次作为前49组的最后元素得到的分割(这样保证了每组非空且与前者一一对应)，故A的分法数为，则这样的映射共有， 故选D. 7．【2001高中数学联赛（第01试）】已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2－3x－a2+2=0，x∈R}的子集的个数为( ) A．1 B．2 C．4 D．不确定 【答案】C 【解析】 M表示方程在实数范围内的解集. 由于，所以M含有2个元素.故集合M有22=4个子集. 8．【2000高中数学联赛（第01试）】设全集是实数，若，，则是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得x=2， 注意到A中只有一个元素，于是将x=2代入B，方程成立，故. (注：这样思考，即使B更复杂一些，计算起来都很简单) 9．【1998高中数学联赛（第01试）】若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a－5}，B={x|3≤x≤22}，则能使成立的所有a的集合是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 所以， 解得. 10．【1993高中数学联赛（第01试）】集合A，B的并集，当A≠B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数有 A．8 B．9 C．26 D．27 【答案】D 【解析】已知，则作为其子集的A，B最多只有3个元素. (1)若，则满足题意的B可以是空集，或是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元素的集合，这样的B有个， 这时(A，B)有对. (2)若A为二元素的集合，则有种，其对应的B的23个，这时(A，B)有对. (3)若A为单元素的集合，则有种，其对应的B