专题06 直线与圆的位置关系-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题06 直线与圆的位置关系 【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B． 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 【命题意图】 通过考查直线与圆、圆与圆的位置关系以及圆的几何性质，考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】 直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力. 【方法总结】 1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是： （1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d； （3）比较d与r的大小，写出结论. 2．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长； （2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求； （3）比较的大小，写出结论. 3．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法： 一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解； 二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则. 4．求两圆公共弦长一般有两种方法： 一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； 二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题. 5．求过圆上的一点的切线方程： 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程. 6．求过圆外一点的圆的切线方程： （1）几何方法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出. 7．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在． 8．解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法 （1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量. （2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题. 9．（1）圆的三个性质 ①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． （2）圆的对称性 ①圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． ②圆关于点对称： 求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; 两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． ③圆关于直线对称： 求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; 两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． （3）两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程． ①同心圆系方程：，其中a，b为定值，r是参数； ②半径相等的圆系方程：，其中r为定值，a，b为参数． 1．【2020届福建省莆田第二十五中学高三上学期期末数学试题】直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得圆心坐标、圆的半径，已知弦长，可利用勾股定理得圆心到直线的距离，然后利用点到线的距离公式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，所以，解得，故选D. 【点睛】 本题考查直线的斜率的求法，已知弦长，通常利用勾股定理求得圆心到直线的距离，然后利用点到线的距离公式得到方程，解出方程即可，属于基础题． 2．【河南省洛阳市2020届高三第三次统一考试数学试题】已知圆:与直线相切，则圆与直线相交所得弦长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据圆:与直线相切，由圆心到直线的距离等于半径求得，然后再利用弦长公式求解. 【详解】 圆心到直线的距离为：， 解得或， 因为，所以，所以圆:， 圆心到直线的距离为：， 所以圆与直线相交所得弦长为， 故选：D 【点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系以及