专题2.5 指数与指数函数（重难点突破）-突破满分数学之2021高考数学（文）总复习导与学

专题2.5 指数与指数函数（文科） 考纲要求 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)的指数函数的图象； 4.体会指数函数是一类重要的函数模型。 5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考情分析 三、考点梳理 【基础知识梳理】 重难点一 根式 (1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 重难点二 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 重难点三 指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【知识拓展】 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))). 2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 四、题型分析 (一) 指数与指数幂的运算 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算． (6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 例1．（1）已知 ，则 ______； _______. （2）.（2020·湖南省永州一中模拟）设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为(　　) A．18 B．21 C．24 D．27 【变式训练1】．已知 ，那么 等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】． ． (二) 指数函数的图像与性质 指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)的图象变换如下： 【注】可概括为：函数y=f(x)沿x轴、y轴的变换为“上加下减，左加右减”． 例2．（1）函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． （2）.（2020·辽宁省辽阳一中模拟）函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，0<b<1 D．0<a<1，b<0 【变式训练1】．.(2020·北京丰台模拟)已知奇函数y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x>0，,g（x），x<0.))如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(－x) B．－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) C．2－x D．－2x 【变式训练2】．（2020·江苏省南通一中模拟）已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A．(1，6) B．(1，5) C．(0，5) D．(5，0