专题2.4 幂函数与二次函数（重难点突破）-突破满分数学之2021高考数学（文）总复习导与学

专题2.4 幂函数与二次函数（文科） 考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝eq \f(1,x)的图象，了解它们的变化情况； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考情分析 三、考点梳理 重难点一 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 重难点二 二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 对称轴 x＝－eq \f(b,2a) 顶点坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))) 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数； 在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数； 在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数 【名师提醒】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))时恒有f(x)>0，当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0. 3.函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根. 4.若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|= . 5.当 且 ( )时，恒有f(x)>0( )；当 且 ( )时，恒有f(x)<0( ). 四、题型分析 (一) 求二次函数或幂函数解析式 1．求二次函数解析式的方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下： 2．求幂函数解析式的方法 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 例1．已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 例2.（2020·河北衡水中学调研） 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式． 【变式训练1】.（2020·河南省实验中学模拟）幂函数y＝f(x)经过点(3，eq \r(3))，则f(x)是(　　) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【变式训练2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) (二) 幂函数的图像及其性质的应用 1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象