专题12 空间几何体的体积与表面积-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题12 空间几何体的体积与表面积 【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A. 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A．8 B． C． D． 【答案】C 【解析】在长方体中，连接， 根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得， 所以该长方体的体积为， 故选C. 【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果. 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为， 所以其表面积为， 故选B. 【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 【命题意图】 通过考查几何体的表面积和体积等相关知识，考查数形结合思想和运算求解能力.[来 【命题规律】 本部分是高考考查的重点内容，主要考查空间几何体的表面积与体积的计算，同时还考查距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，能用转化与化归的思想解题. 【方法总结】 1.求解几何体的表面积或体积的方法： （1）对于规则几何体，可直接利用公式计算． （2）对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解． （3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. （4）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用． 2．解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． 3．构造法在定几何体外接球球心中的应用 常见的构造条件及构造方法有： （1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； （2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； （3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； （4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体． 4．性质法在定几何体外接球球心中的应用 立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心． 5．记住几个常用的结论： （1）正方体的棱长为a，球的半径为R. ①对于正方体的外接球，2R＝； ②对于正方体的内切球，2R＝a； ③对于球与正方体的各棱相切，2R＝. （2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则. （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 1．【云南省曲靖市陆良县2019届高三上学期第一次摸底考试数学试题】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积． 解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R， R=，S=4πR2=12π 故选B. 2．【安徽省安庆七中2020届高三下学期高考模拟冲刺卷（一）数学试题】某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知，此几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据四棱锥的体积公式即可求出结果． 【详解】 根据三视图可将其还原为如下直观图， = =，