专项训练3 最短路径-2种常见题型-2020-2021学年八年级数学上册考点专项训练及单元检测（人教版）

专项训练3 最短路径-2种常见题型 【技巧剖析】 最短路径的实质是两点之间线段最短结合轴对称的综合应用。最短路径在中考中会以2种题型考查。第1种：将军饮马问题；第2种：“造桥选址”问题。以下是对最短路径两种题型的强化。 考点一：将军饮马问题 将军饮马问题考查的是多个点在一条直线的同侧，利用轴对称解决最短路径问题。 将同侧两点转化为异侧两点，利用“两点之间线段最短”解决路径最短问题。具体找到其中某一点关于直线的对称点，将对称点与另一点相连，与直线的交点即为所求。 考点二：“选桥造址”问题 “选桥造址”问题考查的是两个点在多个点在两条直线的异侧，利用轴对称解决最短路径问题。 如图，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？ 方法：将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于P、M，在P、M两处，分别建桥PQ 、 MN，所得路径AQPMNB最短。 ( 方法1 ) 将军饮马问题 【例题】 1．（2020·甘肃玉门期末）要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A，B两个开发区运货． （1）若要求货站到A，B两个开发区的距离相等，在图1中作出货站P． （2）若要求货站到A，B两个开发区的距离和最小，在图2中作出货站P′． 【例题分析】 解：（1）如图1所示：点即为所求； （2）如图2所示：点即为所求． 【举一反三】 2．（2020·金昌市金川总校第五中学期中）如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A． B．C．D． 3．（2020·北京丰台期末）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2020·宁夏期中）如图，两村庄A和B在公路l同侧，现要在公路边建一公交站点P。公交站点P建在何处，使得PA+PB最短? ( 方法2 ) “造桥选址”问题 【例题】 5．（2020·全国）如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸垂直，设河的宽度不变，试问：桥建在何处，才能使从A到B的距离最短？保留作图痕迹并说明理由． 【例题分析】 如图，作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与河岸相交于P，作，交于点D，则且．连接，利用平行四边形的性质可知．根据“两点之间，线段最短”，可知最短，即从A到B，路径最短，故桥应建在处． 【举一反三】 6．（2019·湖北期末）为了发展乡村旅游，某村准备在河道上修一座与河道垂直的桥，如图（1）所示，直线l，m代表河流的两岸河道，且l∥m，点A是某村自助农场的所在地，点B是某村游乐场所在地． 问题1：造桥选址桥准备选在到A，B两地的距离之和刚好为最小的点C处，即在直线l上找一点C，使AC+BC的值为最小．请利用你所学的知识在图（1）中作出点C的位置，并简单说明你所设计方案的原理； 问题2：测量河宽:在测量河道的宽度时施工队在河道南侧的开阔地用以下方法（如图2所示）：①作CD⊥l，与河对岸的直线m相交于D；②在直线m上取E，F两点，使得DE＝EF＝10米；③过点F作m的垂线FG，使得点G与C，E两点在同一直线上；④测量FG的长度为20米．请你确定河道的宽度，并说明理由． 7．（2020·贵州期末）为了发展乡村旅游，洪江村准备在洪江河道上修一座与河道垂直的吊桥，如图1所示，直线l、m代表洪江河的两岸，且l∥m，点A是洪江村自助农场的所在地，点B是洪江村游乐园所在地． 问题1：吊桥的选址 吊桥准备选在到A、B两地的距离之和刚好为最小的点C处，即在直线l上找到使（AC+BC）的值为最小的点C的位置．请利用你所学的知识帮助村委会设计选址方案（直接在图1里作图），并简单说明你所设计方案的原理 问题2：河道的宽度 在测量河道的宽度时，施工队在河道南侧的开阔地用以下方法（如图2所示）：①作CD⊥1，与河对岸的直线m相交于D；②在直线m上取E、F两点，使得DE＝EF＝10米；③过点F作m的垂线n；④在直线n上找到一点G，使得点G与C、E两点在同一直线上；⑤测量FG的长度为20米．请问你知道河道的宽度吗？说明理由 【能力提升】 1．（2020·西安市铁一中学期末）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．（2020·河南