2.5 直线与圆、圆与圆-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 2.5直线与圆、圆与圆 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。 一、单项选择题（本题共6小题，每小题满分5分） 1．“ ”是“直线 与圆 相交”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 圆的圆心为原点，半径，原点到直线的距离，当时，，所以，直线与圆相交；反之，若直线与圆相交，则有，即，解得：，因此，根据充分、必要条件的概念，“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件，故选A． 主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法. 2．若关于 的方程 有且只有两个不同的实数根,则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 方程转化为 由且只有两个不同的实数根，看成 与 有且只有两个不同的交点，即过 的直线与以 为圆心， 为半径的半圆有且只有两个交点，从而得到斜率 的范围. 【详解】 方程 有且只有两个不同的实数根， 得 有且只有两个不同的实数根， 即 与 有且只有两个不同的交点， 即过 的直线与以 为圆心， 为半径的半圆有且只有两个交点， 当直线与半圆相切时，圆心 到直线 的距离为 即 ，解得 ， 当直线过 时，斜率为 ， 所以 的取值范围为 . 故选：D. 【点睛】 本题考查根据直线与圆相切求斜率的值，函数与方程，属于中档题. 3．已知圆 的弦过点P（1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意可得该直线与直线 垂直，又 ，所以直线的斜率为 ，由点斜式可求得直线方程为 ，故选A. 4．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ） A．2 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】 试题分析：直线l过圆心，所以 ，所以切线长 ，选C. 考点：切线长 5．过直线 与圆 的交点，且面积最小的圆的方程为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知圆的标准方程，可得圆心、半径，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，再根据点到直线的距离公式和勾股定理可求出半径，由此即可求出圆的方程． 【详解】 由题知，圆 的圆心为 ，半径 . 设直线 与圆 的交点为 、 ，如图所示， 过 作 ，则经过 、 两点面积最小的圆是以 为直径的圆. 由直线 的方程为 ， 可得， ， 所以 所在直线的方程为 ， 联立 ，得 ，即 ，即 为以 为直径的圆的圆心. 又圆心 到直线 的距离 ， 所以 ， 所以以 为直径的圆的半径为 ； 所以以 为直径的圆的方程为 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 6．已知圆 ，若点P在圆 上，并且点P到直线 的距离为 ，则满足条件的点P的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 设 ，根据点到直线的距离公式得出 ，再结合点 在圆 上，得出 ，联立两式，求解方程组，即可得出答案. 【详解】 设 ，由点P到直线 的距离为 ，得 两边平方整理得到 ① 在圆 上， ，即 ② 联立①②得 解得 或 当 时，由①②可得 ，解得 或 ，即 或 当 时，由①②可得 ，解得 或 ，即 或 综上，满足条件的点P的个数为 个 故选：C 【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，属于中档题. 7．已知圆 的圆心为原点 ，且与直线 相切.点 在直线 上，过点 引圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，如图所示，则直线 恒过定点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由圆 的圆心为原点且与直线 相切即得圆的方程，又 ， 是它的切线，可知 ， 一定在以 为直径 为圆心的圆上，即 为两圆的公共弦，即可求出直线 的方程，进而找到定点 【详解】 依题意知，圆 的半径 且圆心为 ∴圆 的方程为 ∵ ， 是圆 的两条切线 ∴ ， ，即 ， 在以 为直径的圆上 若设点 的坐标为 ， ，则线段 的中点坐标为 ∴以 为直径的圆的方程为 ， ，化简得 ， ∵ 为两圆的公共弦 ∴直线 的方程为 ， ，即 ∴直线 恒过定点 故选：A 【点睛】 本题考查了圆的切点弦过定点问题，首先根据已知条件求出两圆方程，由两圆过相同的两点，即有公共直线求出切点弦的直线方程，进而确定定点 8．已知点 ，点 是圆 上的动点，点