4.5.1 函数与方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数与方程 【要点梳理】 要点一：函数的零点 1.函数的零点 （1）一般地，如果函数 在实数 处的值等于零，即 ，则 叫做这个函数的零点. 要点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数 的图象与 轴交点的横坐标； ③函数 的零点就是方程 的实数根． 归纳：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． （2）二次函数的零点 二次函数 的零点个数，方程 的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 （3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 2．函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数 在一个区间 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 ，使 ，这个 也就是方程 的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程 ，方程 无实根则函数无零点，方程 有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 的图象交点的横坐标． 要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有 ； ②当k＜x1＜x2时，有 ； ③当x1＜k＜x2时， ； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有 ； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有 ． 要点诠释： 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布． （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧． 设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2． ① ； ② ； ③ ； ④x1=0，x2＞0 c=0，且 ；x1＜0，x2=0 c=0，且 ． 要点三：二分法 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 函数 定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间 ，使 与 异号，即 ，零点位于区间 中. 第二步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算 和 ，并判断： ①如果 ，则 就是 的零点，计算终止； ②如果 ，则零点位于区间 中，令 ； ③如果 ，则零点位于区间 中，令 第三步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算 和 ，并判断： ①如果 ，则 就是 的零点，计算终止； ②如果 ，则零点位于区间 中，令 ； ③如果 ，则零点位于区间 中，令 ； …… 继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当 和 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 的近似零点，计算终止.这时函数 的近似零点满足给定的精确度. 【经典例题】 类型一、求函数的零点 例1. 求下列函数的零点. (1) ； (2) ； （3） ． 【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2． 【解析】(1) 由 ，令 ，得 ，故函数零点是-3，1； (2)由 ，令 得x=1，-1，故函数的零点是-1，1； (3)令 ，即 ， 即 ，得 ，故函数的零点是-2，0，2． 举一反三： 【变式1】已知函数 ，当 时，函数 的零点 ,则 ． 【答案】2 【解析】 ，作 及 的图象，作 及 的图象 由图象可知，当 内变动， 内变动时，显然对数函数图象与直线 的公共点皆在区间 内，即函数 的零点 ，故 ． 类型二、函数零点的存在性定理 例2．函数 的零点所在的大致区间是（ ） A．（1，2） B．（2，3） C． 和（3，4） D．（e，+∞） 【答案】 B【解析】 从已知的区间（a，b）中，求 和 ，判断是否有 ． ∵ ， ，∴在（1，2）内 无零点，A错； 又 ，∴ ，∴ 在（2，3）内有一个零点． 举一反三： 【变式1】若函数 ，则下列判断正确的是（ ） A．方程f（x）=0在区间[0