4.4 对数函数及其性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

对数函数及其性质 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中 是自变量，函数的定义域是 ，值域为 ． 2．判断一个函数是对数函数是形如 的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量 ． 要点诠释： （1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像 ， ， 等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1； ②对含有字母的式子要注意分类讨论． 要点二、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数变化与图象变化的规律（令 比较） 在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图) 要点四、反函数 1．反函数的定义 设 分别为函数 的定义域和值域，如果由函数 所解得的 也是一个函数（即对任意的一个 ，都有唯一的 与之对应），那么就称函数 是函数 的反函数，记作 ，在 中， 是自变量， 是 的函数，习惯上改写成 （ ）的形式．函数 （ ）与函数 （ ）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为 ． 由定义可以看出，函数 的定义域A正好是它的反函数 的值域；函数 的值域B正好是它的反函数 的定义域． 要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如 ．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称． （2）若函数 图象上有一点 ，则 必在其反函数图象上，反之，若 在反函数图象上，则 必在原函数图象上． 【典型例题】 类型一、函数的定义域 例1. 求下列函数的定义域： (1) ； (2) . 【解析】(1)因为 ，即 ，所以函数 ； (2)因为 ，即 ，所以函数 . 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域. (1) y= (2) （ 且 ）. 【解析】(1)因为 ， 所以 ，所以函数的定义域为(1， ) ( ，2] （2）因为 ， 所以 . ①当 时，定义域为 ； ②当 时， (i)若 ，则函数定义域为( ，+∞)； (ii)若 ，且 ，则函数定义域为(-∞， )； (iii)若 ，则当 时，函数定义域为 ；当 时，不能构成函数，否则定义域为(. 【变式2】函数 的定义域为[-1，2]，求 的定义域. 【解析】由 ，可得 的定义域为[ ，4]， 再由 得 的定义域为[ ，16]. 类型二、对数函数的单调性及其应用 例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1) ； (2) ； (3) 与 ； (4) 与 ． (5) （ ）． 【解析】(1)解法1：画出对数函数 的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以， ； (2)与第(1)小题类似， 在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以 ； (3)函数 和 的图象如图所示．当 时， 的图象在 的图象上方，这里 ， ． (4) EMBED Equation.DSMT4 (5) 解法1：当 时， 在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以， 当 时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以， 例3．比较 其中0<a<1<b且a·b>1的大小. 【解析】由0<a<1<b且a·b>1，得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 举一反三： 【变式1】已知 则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】另 ， ， ， 由图像可得 又∵ 为单调递增函数，∴ 【变式2】比较的大小． 【解析】 例4．已知定义在R上的函数 是偶函数，且x≥0时， ， （1）当x＜0时，求f（x）解析式； （2）写出f（x）的单调递增区间． 【解析】（1）x＜0时，－x＞0， ∵x≥0时 ，∴ ∵y=f（x）是偶函数，∴f（－x）=f（x） x＜0时， （2）由（1）知x＜0时， ，函数的单调增区间（－1，0） x≥0时 ，根据复合函数的单调性