4.3 对数及对数运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

对数及对数运算 【要点梳理】 要点一、对数概念 1.对数的概念 如果 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 要点诠释： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a¹1， N>0， bÎR. 2.对数 具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即 ； (2)1的对数为0，即 ； (3)底的对数等于1，即 . 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数， .以e（e是一个无理数， ）为底的对数叫做自然对数， . 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则 2.对数的运算性质 如果 ，且 ， ， ，那么： 1. · EMBED Equation.3 ＋ ； 2. EMBED Equation.3 － ； 3. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.KSEE3 ． 注意：换底公式 4. （ ，且 ； ，且 ； ）． 利用换底公式推导下面的结论: 5. 6. 7. 对数的性质: 8. 9. （ ，且 ） 【典型例题】 类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 【解析】(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1) (2) (3)lg1000=x (4) 【解析】(1) ； (2) ； (3)10x=1000=103，于是x=3； (4)由 . 【变式2】计算： 并比较． 【解析】 ． 类型二、利用对数恒等式化简求值 例2．求值： 【解析】 . 举一反三： 【变式1】求 的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 【解析】 . 类型三、积、商、幂的对数 例3. 表示下列各式 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） = ． 举一反三： 【变式1】求值 (1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 【解析】(1) EMBED Equation.3 (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】（1）已知 ，则 ． （2）已知 ，求 ． 【解析】（1）∵ ，∴ ， ， ∴ ．故答案为：1． （2） ， ，又 ，故 故 ，又 ，从而 ， 故 ． 类型四、换底公式的运用 例4.求值：(1) ； (2) ； (3) . 【解析】(1) (2) EMBED Equation.3 ； (3) EMBED Equation.DSMT4 类型五、对数运算法则的应用 例5.（1）计算： （2） （3） （4）若 ，求x的值． 【解析】（1） EMBED Equation.DSMT4 （2）原式= = （3）原式= （4）∵ ，∴ ，∴ ∴ ，解得x=－1或x=2，∵x＞0，∴x=2 举一反三： 【变式1】求值： 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 例6．设函数 （1）当a=0.1，求f（1000）的值． （2）若f（10）=10，求a的值； 【解析】（1）当a=0.1时， ∴ （2）∵ ∴ ，∴ ∴ 或 ，∴ 或 举一反三： 【变式1】若 是方程 的两个实根，求 的值． 【解析】原方程可化为 ，设 ， 则原方程化为 ． ． 由已知 是原方程的两个根，则 ，即 ， = = = ． 即 ． $$对数及对数运算 【要点梳理】 要点一、对数概念 1.对数的概念 如果 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 要点诠释： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a¹1， N>0， bÎR. 2.对数